Введение

Точка в бесконечности в гиперболической геометрии идеальные точки в гиперболической геометрии В гиперболической геометрии идеальная точка, омега точка или точка в бесконечности - это хорошо определенная точка за пределами гиперболической плоскости или пространства. При наличии прямой l и точки P, не находящейся на l, правой и левой границы параллелей от l до P сходятся с l в идеальных точках. В отличие от проективного случая, идеальные точки образуют границу, а не подмножественность. Таким образом, эти линии не пересекаются в идеальной точке, и такие точки, хотя и хорошо определены, не принадлежат к самому гиперболическому пространству. Идеальные точки вместе образуют абсолют Кейли или границу гиперболической геометрии. Например, единичный круг образует абсолют Кейли модели диска Понкаре и модели диска Клейна. Реальная линия образует абсолют Кейли модели полуплоскости Понкаре. Аксиома Паша и теорема внешнего угла все еще имеют значение для омега-треугольника, определяемого двумя точками в гиперболическом пространстве и омега-точкой.

Свойства

Гиперболическое расстояние между идеальной точкой и любой другой точкой или идеальной точкой бесконечно. Центр гороцикла и часового шара - идеальные точки; два гороцикла концентричны, когда они имеют один и тот же центр.

Идеальные четырехугольники

если все вершины четырехугольника являются идеальными точками, то четырехугольник является идеальным четырехугольником. В то время как все идеальные треугольники совпадают, не все выпуклые идеальные четырехугольники. Они могут отличаться друг от друга, например, в углу, в котором их две диагонали пересекают друг друга. Тем не менее, все выпуклые идеальные четырехугольники имеют определенные свойства: внутренние углы выпуклого идеального четырехугольника равны нулю. Любой выпуклый идеальный четырехугольник имеет бесконечный периметр. Любой выпуклый идеальный четырехугольник имеет площадь, где K - (всегда отрицательная) кривизна плоскости.

Идеальный квадрат

Идеальный квадрат, где две диагонали перпендикулярны друг другу, образуют идеальный квадрат. Он был использован Фердинандом Карлом Швайкарт в его меморандуме о том, что он назвал "астральной геометрией", одной из первых публикаций, признающих возможность гиперболической геометрии.

Идеальные н-гоны

Идеальный n гон может быть разделен на (n − 2) идеальные треугольники, с площадью (n − 2) раз площадь идеального треугольника.

Представления в моделях гиперболической геометрии

В модели диска Кляйна и модели диска Понкаре гиперболической плоскости идеальные точки находятся на единичном круге (гиперболической плоскости) или единичной сфере (высших измерениях), которая является недостижимой границей гиперболической плоскости. При проекции одной и той же гиперболической линии на модель диска Клейна и модель диска Понкаре обе линии проходят через одни и те же две идеальные точки (идеальные точки в обеих моделях находятся в одном месте).

Модель диска Клейна

Если мы имеем две точки p и q в открытом блочном диске, то единственная прямая линия, соединяющая их, пересекает блочный круг в двух идеальных точках, а и b, обозначенных так, что точки будут в порядке а, р, к, б. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается как

Модель диска Понкаре

Если в открытом блочном диске есть две точки p и q, то уникальная дуга круга, ортогональная границе, соединяющей их, пересекает блочный круг в двух идеальных точках, a и b, обозначенных так, что точки в порядке a, p, q, b, так что aq Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается как где расстояния измеряются вдоль (прямых) сегментов aq, ap, pb и qb.

Модель полуплоскости Понкаре

В модели полуплоскости Понкаре идеальными точками являются точки на осях границы. Существует также другая идеальная точка, которая не представлена в модели полуплоскости (но лучи, параллельные положительной оси y, приближаются к ней).

Гиперболоидная модель

В гиперболоидной модели нет идеальных точек.