Введение

В математике, гипотеза Хопфа может относиться к одному из нескольких гипотез из дифференциальной геометрии и топологии, приписываемых Хайнцу Хопфу.

Неотрицательно или неположительно изогнутые римановские многообразие

Есть аналогичные гипотезы, если позволить искривлению также стать нулевым. Это утверждение все еще следует отнести к Хопфу (например, в речи, произнесенной в 1953 году в Италии). Компактный, равномерный римановский многообразный с неотрицательной секционной кривизной имеет неотрицательную Эйлеровскую характеристику. Компактный (2d) -мерный римановский многообразие с неположительной секционной кривизной имеет Эйлеровскую характеристику знака или нуля. Эта версия была указана как таковая в вопросе 1 в документе или в документе Черна. Примером, для которого подтверждается гипотеза, является произведение двухмерных многообразий с знаком кривизны, удовлетворяющее характеристике Эйлера, имеющее знак , гипотеза знака подтверждается в этом случае (если для всех k, то и если для всех k, то для четных d и нечетных d, и если одно из них равно нулю, то ).

Самокарты 1 степени

Хопф спросил, является ли каждая непрерывная самокарта ориентированного закрытого многообразия степени 1 обязательно эквивалентностью гомотопии. Легко увидеть, что любая карта степени 1 вызывает сюржецию на; если нет, то факторы через нетривиальное пространство покрытия, противоречащее предположению степени 1. Это подразумевает, что гипотеза действительна для групп Хопфиана, поскольку для них получается, что это изоморфизм и, следовательно, эквивалентность гомотопии. Однако есть некоторые группы, не принадлежащие к Хопфи.

Гипотеза Турстона по асферическим многообразиям (расширение гипотезы Хопфа)

Существует гипотеза, которая относится к гипотезе знака Хопфа, но которая вообще не относится к римановской геометрии. Асферические многообразия - это соединенные многообразия, для которых исчезают все высшие гомотопные группы. Тогда характеристика Эйлера должна удовлетворять тому же условию, что и отрицательно изогнутое разнообразие, которое, как предполагается, удовлетворяет в римановской геометрии: предположим, что M2k является закрытым асферическим разнообразием с четными размерами. Тогда его характеристика Эйлера удовлетворяет неравенству Не может быть прямого отношения к римановскому случаю, поскольку существуют асферические многообразия, которые не гомеоморфны гладкому римановскому многообразию с отрицательной секционной кривизной. Эта топологическая версия гипотезы Хопфа была создана Уильямом Турстоном. Рут Чарни и Майкл Дэвис предположили, что то же неравенство имеет место для не-положительно изогнутого кусочного евклидового (PE) многообразия.

(Не связанные:) Риманновские метрики без конъюгированных точек

Было некоторое замешательство по поводу слова "предположение Хоффа", поскольку не связанный с ним математик Эберхард Хофф и современник Хайнца Хоффа работали над такими темами, как геодезические потоки. (Эберхард Хопф и Хайнц Хопф не имеют родства и, возможно, никогда не встречались, хотя оба были учениками Эрхарда Шмидта). Существует теорема Эберхарда Хопфа, согласно которой, если 2 тора не имеют конъюгированных точек, то они должны быть плоскими (иногда и повсюду кривая Гаусса равна нулю). Теорема Эберхарда Хопфа обобщила теорему Марстона Морзе и Густава Хедлунда (студента Морзе) за год до этого. Проблема обобщения этого в более высоких измерениях была известна некоторое время как гипотеза Хопфа. В любом случае, это теперь теорема: Риманова метрика без конъюгированных точек на n-мерном торе плоская.