Введение

В математике спектральная последовательность Лерея была первым примером гомологической алгебры, введенной в 1946 году Жаном Лереем. В настоящее время он обычно рассматривается как особый случай спектральной последовательности Гротендика.

Обобщение на другие снопы и комплексы снопов

Заметим, что этот результат можно обобщить, вместо этого рассматривая снопы модулей над локально постоянным снопом колец для фиксированного коммутативного кольца. Тогда снопы будут снопами модулей, где для открытого множества , такой сноп является модулем для Кроме того, вместо снопов, мы можем рассмотреть комплексы снопов, ограниченные ниже для производной категории. Затем, мы заменяем кохомологию снопа гиперкохомологией снопа.

Примеры

Пусть будут гладкие многообразные, и просто соединены, так что Мы рассчитываем спектральную последовательность Лерая проекции Если крышка хороша (окончательные пересечения являются ) тогда Поскольку просто соединены, любой локально постоянный предшественник является постоянным, так что это постоянный предшественник Так что вторая страница спектральной последовательности Лерая является как крышка также хороша, так что здесь первое место, которое мы используем, это проекция, а не просто пучок волокон: каждый элемент закрытого является фактической дифференциальной формой на всех , поэтому применение как d, так и к ним дает ноль. Таким образом, это доказывает теорему Кюнета для просто соединенных: Если является общим волокнистым пучком с волокном , то применяется вышеизложенное, за исключением того, что это только локально постоянный предплеток, а не постоянный. Все примерные вычисления с спектральной последовательностью Серра являются последовательностью Лерея для постоянного снопа.

История и связь с другими спектральными последовательностями

В то время, когда работа Лерая, ни одно из двух концепций (спектральная последовательность, кохомология снопов) не достигло ничего, похожего на окончательное состояние. Поэтому редко бывает так, что результат Лерея цитируется в его оригинальной форме. После многочисленных работ, в частности, на семинаре Анри Картана, было получено современное утверждение, хотя и не общее Гротендика спектральной последовательности. Ранее (1948/9) выводка для пучков волокон проводилась в форме, формально идентичной спектрологической последовательности Серре, в которой не используются сгустки. Однако эта обработка применялась к кохомологии Александра-Спаниера с компактными опорами, как и к правильным картам локально компактных пространств Хаусдорфа, поскольку для получения спектральной последовательности требовался тонкий пучок реальных дифференциальных градационных алгебр на общее пространство, который был получен путем оттягивания комплекса де Рама вдоль встраивания в сферу. Жан-Пьер Серр, которому нужна была спектральная последовательность в гомологии, которая применялась к фибрациям пространства пути, чьи общие пространства почти никогда не были локально компактными, таким образом, не смог использовать оригинальную спектральную последовательность Лерэя и таким образом получил связанную спектральную последовательность, чей кохомологический вариант согласен, для компактного волокнистого пучка на хорошо поведенческом пространстве с последовательностью выше. В формулировке, полученной Александром Гротендикком примерно в 1957 году, спектральная последовательность Лерая является спектральной последовательностью Гротендика для составления двух производных функторов.