Введение

Парадокс, возникающий из-за неверного доказательства.

Утверждение, что все лошади одного цвета, является ложным парадоксом, возникающим из-за некорректного применения математической индукции для доказательства этого утверждения. Фактического противоречия нет, поскольку в этих рассуждениях содержится критическая ошибка, делающая их неверными. Этот пример впервые был предложен Джорджем Пойей в 1954 году в книге, но в других формулировках: "Существуют ли n равных чисел?" или "У любых n девушек глаза одного цвета", в качестве упражнения по математической индукции. Он также был сформулирован как "Все коровы одного цвета". Версия парадокса с лошадьми была представлена в 1961 году в сатирической статье Джоэла Э. Коэна. Она была представлена в виде леммы, которая, в частности, позволила автору "доказать", что Александра Македонского не существовало и у него было бесконечное количество конечностей.

Аргумент

Аргумент доказывается методом математической индукции. Сначала мы устанавливаем базовый случай для одной лошади. Затем мы доказываем, что если *n* лошадей имеют одинаковый цвет, то *n+1* лошадь также должна иметь тот же цвет.

Базовый случай: одна лошадь

Дело с одной лошадью тривиально. Если в "группе" всего одна лошадь, то очевидно, что все лошади в этой группе имеют одинаковый цвет.

Индуктивный этап

Предположим, что лошади всегда одного цвета. Рассмотрим группу, состоящую из лошадей. Во-первых, исключим одну лошадь и посмотрим только на остальных лошадей; все они одного цвета, поскольку лошади всегда одного цвета. Аналогично, исключим другую лошадь (не идентичную первой исключенной) и посмотрим только на остальных лошадей. По той же логике, они тоже должны быть одного цвета. Следовательно, первая исключенная лошадь имеет тот же цвет, что и неисключенные лошади, которые, в свою очередь, имеют тот же цвет, что и вторая исключенная лошадь. Таким образом, первая исключенная лошадь, неисключенные лошади и вторая исключенная лошадь – все одного цвета, и мы доказали, что: если лошади имеют один и тот же цвет, то лошади также будут иметь один и тот же цвет. Мы уже видели в базовом случае, что правило ("все лошади одного цвета") верно для . Доказанный здесь шаг индукции подразумевает, что, поскольку правило верно для , оно также должно быть верно для , что, в свою очередь, подразумевает, что правило верно для и так далее. Таким образом, в любой группе лошадей все лошади должны быть одного цвета.

Пояснение

В приведенном выше аргументе делается неявное предположение, что множество лошадей содержит как минимум 3 элемента, чтобы два собственных подмножества лошадей, к которым применяется предположение индукции, обязательно имели общий элемент. Это неверно на первом шаге индукции, то есть когда рассматриваются только две лошади, лошадь А и лошадь В. Когда лошадь А удаляется, верно, что оставшиеся лошади в множестве имеют один и тот же цвет (остается только лошадь В). То же самое верно, когда удаляется лошадь В. Однако утверждение "первая исключенная лошадь имеет тот же цвет, что и неисключенные лошади, которые, в свою очередь, имеют тот же цвет, что и другая исключенная лошадь" лишено смысла, поскольку нет "неисключенных лошадей" (общих элементов (лошадей) в двух множествах, так как каждая лошадь исключается только один раз). Следовательно, в вышеуказанном доказательстве нарушена логическая связь. Доказательство представляет собой ложный парадокс; оно создает видимость доказательства чего-то явно ложного с помощью корректного рассуждения, но на самом деле само рассуждение ошибочно.