Введение
Семья непрерывных распределений вероятности Распределение 1/x, когда x является гауссианским В теории вероятности, обратное гауссианское распределение (также известное как распределение Вальда) представляет собой двухпараттеричное семейство непрерывных распределений вероятности с поддержкой на (0,∞). Его функция плотности вероятности дается для x > 0, где среднее значение и параметр формы. Обратное гауссовое распределение имеет несколько свойств, аналогичных гауссовому распределению. Название может вводить в заблуждение: это "обратное" только в том, что, в то время как гаусский описывает уровень броуновского движения в фиксированное время, обратный гаусский описывает распределение времени, которое брауновское движение с положительным дрейфом занимает, чтобы достичь фиксированного положительного уровня. Его кумулятивная генерирующая функция (логоризм характеристической функции) является обратной кумулятивной генерирующей функции гауссовой случайной переменной. Чтобы показать , что случайная переменная X является обратной гауссовой распределённой со средним μ и параметром формы λ , мы пишем .
the distribution of 1/x when x is Gaussian
In probability theory, the inverse Gaussian distribution (also known as the Wald distribution) is a two parameter family of continuous probability distributions with support on (0,∞). Its probability density function is given by
for x > 0, where is the mean and is the shape parameter. The inverse Gaussian distribution has several properties analogous to a Gaussian distribution. The name can be misleading: it is an "inverse" only in that, while the Gaussian describes a Brownian motion's level at a fixed time, the inverse Gaussian describes the distribution of the time a Brownian motion with positive drift takes to reach a fixed positive level. Its cumulant generating function (logarithm of the characteristic function) is the inverse of the cumulant generating function of a Gaussian random variable. To indicate that a random variable X is inverse Gaussian distributed with mean μ and shape parameter λ we write .
Когда дрейф равен нулю
Общий особый случай вышеперечисленного возникает, когда движение Брауна не имеет дрейфа. В этом случае параметр μ имеет тенденцию к бесконечности, и первое время прохождения для фиксированного уровня α имеет функцию плотности вероятности (см. также Бачелье). Это распределение Леви с параметрами и .
(see also Bachelier). This is a Lévy distribution with parameters and .
История
Это распределение, по-видимому, было впервые получено в 1900 году Луи Бачелье как время, когда акция достигает определенной цены впервые. В 1915 году он был использован независимо Эрвином Шредингером и Марианом против Смолуховского как время до первого прохождения броуновского движения. В области моделирования воспроизводства она известна как функция Хадвигера, в честь Хьюго Хадвигера, который описал ее в 1940 году. Авраам Вальд вывел это распределение в 1944 году как ограничивающую форму образца в последовательном тесте коэффициента вероятности. Название инверсный гаусский был предложен Морисом Твиди в 1945 году. Твиди исследовал это распределение в 1956 и 1957 годах и установил некоторые из его статистических свойств. Распределение было подробно рассмотрено Фольксом и Чикарой в 1978 году.
Числовые вычисления и программное обеспечение
Несмотря на простую формулу для функции плотности вероятности, числовые вычисления вероятности для обратного гауссового распределения тем не менее требуют особой осторожности для достижения полной точности машины в арифметике с плавающей запятой для всех значений параметров. Функции для обратного гауссового распределения предоставляются для языка программирования R несколькими пакетами, включая rmutil, SuppDists, STAR, invGauss, LaplacesDemon и statmod.