Axiom of limitation of size

Введение

В теории множеств аксиома ограничения размера была предложена Джоном фон Нейманом в его системе аксиом 1925 года для множеств и классов. Он формализует ограничение принципа размера, что позволяет избежать парадоксов, встречающихся в более ранних формулировках теории множеств, признавая, что некоторые классы слишком велики, чтобы быть множествами. Фон Нойман понял, что парадоксы вызваны тем, что эти большие классы являются членами класса. Класс, который является членом класса, является множеством; класс, который не является множеством, является собственным классом. Каждый класс - это подкласс V, класс всех множеств. Аксиома ограничения размера говорит, что класс является множеством, если и только если он меньше V, то есть нет функции, отображающей его на V. Обычно эта аксиома излагается в эквивалентной форме: класс является собственным классом, если и только если есть функция, отображающая его на V. Аксиома фон Неймана подразумевает аксиомы замены, разделения, союза и глобального выбора. Это эквивалентно комбинации замены, союза и глобального выбора в теории множеств фон Неймана Бернеса Гёделя (NBG) и теории множеств Морзе Келли. В более поздних изложениях теорий классов, таких как теории Пола Бернейса, Курта Гёделя и Джона Л. Келли, используются замена, объединение и аксиома выбора, эквивалентная глобальному выбору, а не аксиома фон Неймана. В 1930 году Эрнст Зермело определил модели теории множеств, удовлетворяющие аксиоме ограничения размера. Авраам Френкель и Азриэль Леви заявили, что аксиома ограничения размера не охватывает всю "доктрину ограничения размера", потому что она не подразумевает аксиому множества сил. Майкл Халлетт утверждал, что ограничение доктрины размера не оправдывает аксиомы множества степеней и что "явное предположение фон Неймана [о малости множеств степеней] кажется предпочтительным тем, что Зермело, Френкель и Леви тёмно скрывают скрытое предположение о малости множеств степеней".

Последствия аксиомы

Фон Нейман доказал, что аксиома ограничения размера подразумевает аксиому замещения, которая может быть выражена как: Если F - функция, а A - множество, то F ((A) - множество. Это доказывается противоречием. Пусть F будет функцией, а A - множеством. Предположим, что F ((A) является собственным классом. Затем есть функция G, которая отображает F ((A) на V. Поскольку составная функция G F отображает A на V, аксиома ограничения размера подразумевает, что A является собственным классом, что противоречит тому, что A является множеством. Следовательно, F ((A) - множество. Поскольку аксиома замены подразумевает аксиому разделения, аксиома ограничения размера подразумевает аксиому разделения. Фон Нейман также доказал, что его аксиома подразумевает, что V может быть хорошо упорядочен. Доказательство начинается с доказательства, что Орд, класс всех порядковых чисел, является собственным классом. Предположим, что Орд - это набор. Поскольку это переходное множество, строго хорошо упорядоченное по ∈, это ординал. Так Ord ∈ Ord, что противоречит тому, что Ord строго хорошо упорядочен ∈. Поэтому, Орд - это собственный класс. Так, аксиома фон Неймана подразумевает, что существует функция F, которая отображает Ord на V. Чтобы определить хорошо упорядоченный V, давайте G будет подклассом F, состоящим из упорядоченных пар (α, x), где α является наименьшим β таким образом, что (β, x) ∈ F; то есть, G = {(α, x) ∈ F: ∀β((β, x) ∈ F ⇒ α ≤ β) }. Функция G является одно к одному соответствием между подмножеством Ord и V. Поэтому, x < y, если G−1(x) < G−1(y) определяет хорошо упорядоченный V. Этот хорошо упорядоченный определяет глобальную функцию выбора: Пусть Inf(x) будет наименьшим элементом непустого множества x. Поскольку Inf ((x) ∈ x, эта функция выбирает элемент x для каждого непустого множества x. Поэтому, Inf ((x) - это функция глобального выбора, поэтому аксиома фон Неймана подразумевает аксиому глобального выбора. В 1968 году Азриэль Леви доказал, что аксиома фон Неймана подразумевает аксиому союза. Во-первых, он доказал, не используя аксиому союза, что каждый набор порядковых чисел имеет верхнюю границу. Затем он использовал функцию, которая отображает Орд на V, чтобы доказать, что если A - множество, то A - это множество. Аксиомы замены, глобального выбора и союза (с другими аксиомами NBG) подразумевают аксиому ограничения размера. Поэтому эта аксиома эквивалентна комбинации замены, глобального выбора и союза в теории множеств NBG или Морзе-Келли. Эти теории множеств только заменили аксиому замещения и форму аксиомы выбора аксиомой ограничения размера, потому что система аксиом фон Неймана содержит аксиому союза. Доказательство Леви, что эта аксиома избыточна, появилось много лет спустя. Аксиомы NBG с аксиомой глобального выбора, замененной обычной аксиомой выбора, не подразумевают аксиомы ограничения размера. В 1964 году Уильям Б. Истон использовал принуждение для построения модели NBG с глобальным выбором, замененным аксиомой выбора. В модели Истона V не может быть линейно упорядочен, поэтому он не может быть хорошо упорядочен. Поэтому аксиома ограничения размера не соответствует этой модели. Ord - это пример собственного класса, который не может быть отображен на V, потому что (как доказано выше), если есть функция, отображающая Ord на V, то V может быть хорошо упорядочен. Аксиомы NBG с аксиомой замены, замененной более слабой аксиомой разделения, не подразумевают аксиомы ограничения размера. Определите как th бесконечный начальный порядковый номер, который также является кардинальным; нумерация начинается с , поэтому в 1939 году Гёдель указал, что Lωω, подмножество конструктивной вселенной, является моделью ZFC с заменой, замененной разделением. Чтобы расширить его в модель NBG с заменой, замененной разделением, пусть его классы будут множествами Lωω+1, которые являются конструктивными подмножествами Lωω. Эта модель удовлетворяет аксиомам существования классов NBG, потому что ограничение переменных множества этих аксиомов на Lωω производит экземпляры аксиомы разделения, которая имеет место в L. Она удовлетворяет аксиоме глобального выбора, потому что есть функция, принадлежащая Lωω+1, которая отображает ωω на Lωω, что подразумевает, что Lωω хорошо упорядочен. Аксиома ограничения размера не работает, потому что собственный класс {ωn: n ∈ ω} имеет кардинальность , поэтому его нельзя отобразить на Lωω, который имеет кардинальность В письме 1923 года Зермело, фон Нейман заявил первую версию своей аксиомы: Класс яв�...

Von Neumann proved that the axiom of limitation of size implies the axiom of replacement, which can be expressed as: If F is a function and A is a set, then F(A) is a set. This is proved by contradiction. Let F be a function and A be a set. Assume that F(A) is a proper class. Then there is a function G that maps F(A) onto V. Since the composite function G ∘ F maps A onto V, the axiom of limitation of size implies that A is a proper class, which contradicts A being a set. Therefore, F(A) is a set. Since the axiom of replacement implies the axiom of separation, the axiom of limitation of size implies the axiom of separation. Von Neumann also proved that his axiom implies that V can be well ordered. The proof starts by proving by contradiction that Ord, the class of all ordinals, is a proper class. Assume that Ord is a set. Since it is a transitive set that is strictly well ordered by ∈, it is an ordinal. So Ord ∈ Ord, which contradicts Ord being strictly well ordered by ∈. Therefore, Ord is a proper class. So von Neumann's axiom implies that there is a function F that maps Ord onto V. To define a well ordering of V, let G be the subclass of F consisting of the ordered pairs (α, x) where α is the least β such that (β, x) ∈ F; that is, G = {(α, x) ∈ F: ∀β((β, x) ∈ F ⇒ α ≤ β)}. The function G is a one to one correspondence between a subset of Ord and V. Therefore, x < y if G−1(x) < G−1(y) defines a well ordering of V. This well ordering defines a global choice function: Let Inf(x) be the least element of a non empty set x. Since Inf(x) ∈ x, this function chooses an element of x for every non empty set x. Therefore, Inf(x) is a global choice function, so Von Neumann's axiom implies the axiom of global choice. In 1968, Azriel Lévy proved that von Neumann's axiom implies the axiom of union. First, he proved without using the axiom of union that every set of ordinals has an upper bound. Then he used a function that maps Ord onto V to prove that if A is a set, then ∪A is a set. The axioms of replacement, global choice, and union (with the other axioms of NBG) imply the axiom of limitation of size. Therefore, this axiom is equivalent to the combination of replacement, global choice, and union in NBG or Morse–Kelley set theory. These set theories only substituted the axiom of replacement and a form of the axiom of choice for the axiom of limitation of size because von Neumann's axiom system contains the axiom of union. Lévy's proof that this axiom is redundant came many years later. The axioms of NBG with the axiom of global choice replaced by the usual axiom of choice do not imply the axiom of limitation of size. In 1964, William B. Easton used forcing to build a model of NBG with global choice replaced by the axiom of choice. In Easton's model, V cannot be linearly ordered, so it cannot be well ordered. Therefore, the axiom of limitation of size fails in this model. Ord is an example of a proper class that cannot be mapped onto V because (as proved above) if there is a function mapping Ord onto V, then V can be well ordered. The axioms of NBG with the axiom of replacement replaced by the weaker axiom of separation do not imply the axiom of limitation of size. Define as the th infinite initial ordinal, which is also the cardinal ; numbering starts at , so In 1939, Gödel pointed out that Lωω, a subset of the constructible universe, is a model of ZFC with replacement replaced by separation. To expand it into a model of NBG with replacement replaced by separation, let its classes be the sets of Lωω+1, which are the constructible subsets of Lωω. This model satisfies NBG's class existence axioms because restricting the set variables of these axioms to Lωω produces instances of the axiom of separation, which holds in L. It satisfies the axiom of global choice because there is a function belonging to Lωω+1 that maps ωω onto Lωω, which implies that Lωω is well ordered. The axiom of limitation of size fails because the proper class {ωn : n ∈ ω} has cardinality , so it cannot be mapped onto Lωω, which has cardinality
In a 1923 letter to Zermelo, von Neumann stated the first version of his axiom: A class is a proper class if and only if there is a one to one correspondence between it and V.
Theorem 1. A class X is a set if and only if |X| < κ.
Theorem 2. |Vκ| = κ. Since every class is a subset of Vκ, Theorem 2 implies that every class X has cardinality ≤ κ. Combining this with Theorem 1 proves: every proper class has cardinality κ. Hence, every proper class can be put into one to one correspondence with Vκ. This correspondence is a subset of Vκ, so it is a class of the model. Therefore, the axiom of limitation of size holds for the model Vκ. The theorem stating that Vκ has a well ordering can be proved directly. Since κ is an ordinal of cardinality κ and |Vκ| = κ, there is a one to one correspondence between κ and Vκ. This correspondence produces a well ordering of Vκ. Von Neumann's proof is indirect. It uses the Burali Forti paradox to prove by contradiction that the class of all ordinals is a proper class. Hence, the axiom of limitation of size implies that there is a function that maps the class of all ordinals onto the class of all sets. This function produces a well ordering of Vκ.

Модель Vω

Чтобы продемонстрировать, что теоремы 1 и 2 верны для некоторого Vκ, мы сначала докажем, что если множество принадлежит Vα, то оно принадлежит всем последующим Vβ, или эквивалентно: Vα Vβ для α ≤ β. Это доказано трансфинитной индукцией на β: β = 0: V0 V0. Для β+1: по индуктивной гипотезе, Vα Vβ. Следовательно, Vα Vβ Vβ P(Vβ) = Vβ+1. Для предела β: Если α < β, то Vα ξ < β Vξ = Vβ. Если α = β, то Vα Vβ. Набор входит в кумулятивную иерархию через набор мощностей P ((Vβ) на этапе β + 1. Следующие определения будут необходимы: Если x - множество, то ранг (x) - наименьший порядковый β такой, что x ∈ Vβ+1. Верхняя величина множества порядковых чисел A, обозначаемая sup A, является наименьшей порядковой величиной β, такой, что α ≤ β для всех α ∈ A. Самая маленькая модель Зермело - Vω. Математическая индукция доказывает, что Vn конечен для всех n < ω: V0 = 0. Вn+1 Даша = Вn P (Vn) Даша ≤ Вn Даша + 2 Вn Даша, которая конечна, так как Vn конечна по индуктивной гипотезе. Доказательство теоремы 1: Множество X входит в Vω через P(Vn) для некоторого n < ω, так что X Vn. Поскольку Vn конечен, X тоже. И наоборот: если класс X конечен, то N = sup {rank(x): x ∈ X}. Поскольку ранг ((x) ≤ N для всех x ∈ X, у нас есть X VN+1, так что X ∈ VN+2 Vω. Следовательно, X ∈ Vω. Доказательство теоремы 2: Vω - союз бесконечно многочисленных конечных множеств возрастающего размера. Следовательно, он имеет кардинальность , которая равна ω по кардинальному назначению фон Неймана. Множества и классы Vω удовлетворяют всем аксиомам NBG, за исключением аксиомы бесконечности.