Введение
Оценивает линейный интеграл через градиентное поле с использованием исходного скалярного поля Теорема градиента, также известная как фундаментальная теорема исчисления линейных интегралов, говорит, что линейный интеграл через градиентное поле может быть оценен путем оценки исходного скалярного поля в конечных точках кривой. Теорема является обобщением второй фундаментальной теоремы исчисления на любую кривую в плоскости или пространстве (обычно n-мерной), а не только на реальную линию. Если φ : U 'R'^(n) → 'R' является дифференцируемой функцией, а γ дифференцируемой кривой в U, которая начинается в точке 'p' и заканчивается в точке 'q', то где φ обозначает градиентное векторное поле φ. Теорема градиента подразумевает, что интегралы прямой через поля градиента независимы от пути. В физике эта теорема является одним из способов определения консервативной силы. Размещая φ как потенциал, φ является консервативным полем. Работа, выполняемая консервативными силами, не зависит от пути, которым следует объект, а только от конечных точек, как показывает приведенное выше уравнение. Теорема градиента также имеет интересную обратную сторону: любое независимое от пути векторное поле может быть выражено как градиент скалярного поля. Как и сама теорема о градиенте, этот обратный имеет много поразительных последствий и применений как в чистой, так и в прикладной математике.
The gradient theorem, also known as the fundamental theorem of calculus for line integrals, says that a line integral through a gradient field can be evaluated by evaluating the original scalar field at the endpoints of the curve. The theorem is a generalization of the second fundamental theorem of calculus to any curve in a plane or space (generally n dimensional) rather than just the real line. If φ : U ⊆ 'R'^(n) → 'R' is a differentiable function and γ a differentiable curve in U which starts at a point 'p' and ends at a point 'q', then
where ∇φ denotes the gradient vector field of φ. The gradient theorem implies that line integrals through gradient fields are path independent. In physics this theorem is one of the ways of defining a conservative force. By placing φ as potential, ∇φ is a conservative field. Work done by conservative forces does not depend on the path followed by the object, but only the end points, as the above equation shows. The gradient theorem also has an interesting converse: any path independent vector field can be expressed as the gradient of a scalar field. Just like the gradient theorem itself, this converse has many striking consequences and applications in both pure and applied mathematics.
Доказательство
Если φ является дифференцируемой функцией от некоторого открытого подмножества U 'R'^(n) к 'R' и 'r' является дифференцируемой функцией от некоторого закрытого интервала [a, b] к U (Обратите внимание, что 'r' дифференцируется в конечных точках интервала a и b. Для этого "r" определяется на интервале, который больше и включает [a, b]. ), то по правилу многовариантной цепи, составная функция φ 'r' дифференцируемая на [a, b]: для всех t в [a, b]. Здесь ⋅ обозначает обычное внутреннее произведение. Теперь предположим, что область U от φ содержит дифференцируемую кривую γ с конечными точками 'p' и 'q'. (Это ориентировано в направлении от "p" до "q"). Если "r" параметризирует γ для t в [a, b] (т. е., "r" представляет γ как функцию t), то где определение прямого интеграла используется в первом равенстве, то вышеуказанное уравнение используется во втором равенстве, а вторая фундаментальная теорема исчисления используется в третьем равенстве. Даже если теорема градиента (также называемая фундаментальной теоремой исчисления для линейных интегралов) была доказана для дифференцируемой (так выглядевшей как гладкой) кривой до сих пор, теорема также доказана для кусочной гладкой кривой, поскольку эта кривая создается путем соединения нескольких дифференцируемых кривых, поэтому доказательство этой кривой создается доказательством на дифференцируемую компоненту кривой.
for all t in [a, b]. Here the ⋅ denotes the usual inner product. Now suppose the domain U of φ contains the differentiable curve γ with endpoints 'p' and 'q'. (This is oriented in the direction from 'p' to 'q'). If 'r' parametrizes γ for t in [a, b] (i. e., 'r' represents γ as a function of t), then
where the definition of a line integral is used in the first equality, the above equation is used in the second equality, and the second fundamental theorem of calculus is used in the third equality. Even if the gradient theorem (also called fundamental theorem of calculus for line integrals) has been proved for a differentiable (so looked as smooth) curve so far, the theorem is also proved for a piecewise smooth curve since this curve is made by joining multiple differentiable curves so the proof for this curve is made by the proof per differentiable curve component.
Пример 2
Для более абстрактного примера предположим, что γ 'R'^(n) имеет конечные точки 'p', 'q', с ориентацией от 'p' до 'q'. Для "u" в "R'^(n" давайте обозначим евклидовой норма "u". Если α ≥ 1 - реальное число, то здесь окончательное равенство следует за теоремой градиента, поскольку функция дифференцируема на R'^{n}, если α ≥ 1. Если α < 1, то это равенство все равно будет действовать в большинстве случаев, но следует соблюдать осторожность, если γ проходит через или окружает начало, потому что интегральное векторное поле не будет определено там. Однако в случае 1=α = −1 ситуация несколько иная; в этом случае интеграл становится , так что окончательное равенство становится . Обратите внимание, что если 1=n = 1, то этот пример - просто небольшой вариант знакомого правила степени из одномерного исчисления.
Here the final equality follows by the gradient theorem, since the function is differentiable on 'R'^(n) if α ≥ 1. If α < 1 then this equality will still hold in most cases, but caution must be taken if γ passes through or encloses the origin, because the integrand vector field will fail to be defined there. However, the case 1=α = −1 is somewhat different; in this case, the integrand becomes , so that the final equality becomes
Note that if 1=n = 1, then this example is simply a slight variant of the familiar power rule from single variable calculus.
Конверс теоремы градиента
Теорема градиента гласит, что если векторное поле 'F' является градиентом некоторой скалярной функции (т.е. если 'F' консервативна), то 'F' является независимым от пути векторным полем (т.е. интеграл 'F' по некоторой делениями дифференцируемой кривой зависит только от конечных точек). Эта теорема имеет мощную обратную формулу: легко показать, что векторное поле независимо от пути, если и только если интеграл векторного поля над каждой замкнутой петлей в его области равен нулю. Таким образом, обратное можно альтернативно изложить следующим образом: если интеграл "F" по каждой замкнутой петле в области "F" равен нулю, то "F" является градиентом некоторой скалярной функции.
It is straightforward to show that a vector field is path independent if and only if the integral of the vector field over every closed loop in its domain is zero. Thus the converse can alternatively be stated as follows: If the integral of 'F' over every closed loop in the domain of 'F' is zero, then 'F' is the gradient of some scalar valued function.
Доказательство обратного
Предположим, что U - открытое, связанное по пути подмножество R'^{n}, а F: U → R'^{n} - непрерывное и независимое от пути векторное поле. Определите какой-нибудь элемент "a" из U и определите f: U → "R" по: Здесь γ['a', 'x'] - любая (дифференцируемая) кривая в U, начинающаяся в "a" и заканчивающаяся в "x". Мы знаем, что f хорошо определена, потому что 'F' является независимым от пути. Пусть v будет любым ненулевым вектором в R^{n} По определению направленной производной, для вычисления интеграла в пределах окончательного предела, мы должны параметризировать γ['x', 'x' + t'v']. Поскольку 'F' является независимым от пути, U открыт, а t приближается к нулю, мы можем предположить, что этот путь является прямой и параметризировать его как 1='u'(s) = 'x' + s'v' для 0 < s < t. Теперь, поскольку 1='u(s) = 'v', предел становится где первое равенство является из определения производной с тем, что интеграл равен 0 при t = 0, а второе равенство является из первой фундаментальной теоремы исчисления. Таким образом, у нас есть формула для ∂'v'f, (один из способов представления направленной производной), где 'v' произволен; для (см. его полное определение выше), его направленная производная по отношению к 'v' - это, где первые два равенства просто показывают разные представления направленной производной. Согласно определению градиента скалярной функции f, , таким образом, мы нашли скалярную оцененную функцию f, градиент которой является независимым от пути векторным полем 'F' (т.е., 'F' является консервативным векторным полем. ), как пожелаете.
Пример обратного принципа
Чтобы проиллюстрировать силу этого обратного принципа, мы приведем пример, который имеет значительные физические последствия. В классическом электромагнетизме электрическая сила является независимой от пути силы; т. е. работа, выполненная на частице, которая вернулась в свое первоначальное положение в электрическом поле, равна нулю (при условии, что не меняется магнитное поле). Таким образом, вышеуказанная теорема подразумевает, что электрическое силовое поле "F'e: S → 'R'^(3) является консервативным (здесь S является некоторой открытой, связанной подмножеством пути "R'^(3) содержит распределение заряда). Следуя идеям вышеуказанного доказательства, мы можем установить некоторую точку отсчета 'a' в S и определить функцию Ue: S → 'R' с помощью вышеуказанного доказательства, мы знаем, что Ue хорошо определена и дифференцируема, и 1 = 'F'e = −Ue (из этой формулы мы можем использовать теорему градиента, чтобы легко получить хорошо известную формулу для расчета работы, выполненной консервативными силами: 1 = W = −ΔU). Эта функция Ue часто называется электростатической потенциальной энергией системы зарядов в S (со ссылкой на нулевой потенциал "a"). Во многих случаях предполагается, что область S не ограничена, а эталонная точка "a" принимается за "бесконечность", которая может быть строго определена с использованием ограничивающих методов. Эта функция Ue является незаменимым инструментом, используемым в анализе многих физических систем.
Using the above proof, we know Ue is well defined and differentiable, and 1='F'e = −∇Ue (from this formula we can use the gradient theorem to easily derive the well known formula for calculating work done by conservative forces: 1=W = −ΔU). This function Ue is often referred to as the electrostatic potential energy of the system of charges in S (with reference to the zero of potential 'a'). In many cases, the domain S is assumed to be unbounded and the reference point 'a' is taken to be "infinity", which can be made rigorous using limiting techniques. This function Ue is an indispensable tool used in the analysis of many physical systems.
Обобщения
Многие из критических теорем векторного исчисления элегантно обобщают утверждения об интеграции дифференциальных форм на многообразиях. На языке дифференциальных форм и внешних производных, теорема градиента гласит, что для любой формы 0, φ, определяется на некоторой дифференцируемой кривой γ 'R'^{n) (здесь интеграл φ через границу γ понимается как оценка φ в конечных точках γ). Обратите внимание на поразительное сходство между этим утверждением и обобщенной теоремой Стоукса, которая говорит, что интеграл любой компактно поддерживаемой дифференциальной формы ω над границей некоторого ориентируемого многообразия Ω равен интегралу его внешней производной dω над всем Ω, т. е. Это мощное утверждение является обобщением теоремы градиента от 1 форм, определенных на одномерных многообразиях, до дифференциальных форм, определенных на многообразиях произвольного измерения. Обратное утверждение теоремы градиента также имеет мощное обобщение с точки зрения дифференциальных форм на многообразиях. В частности, предположим, что ω является формой, определенной на сжимаемом домене, и интеграл ω над любым закрытым многообразием равен нулю. Тогда существует такая форма ψ, что 1=ω = dψ. Таким образом, в сжимаемом домене, каждая закрытая форма является точной. Этот результат обобщен леммой Понкаре.
for any 0 form, ϕ, defined on some differentiable curve γ ⊂ 'R'^(n) (here the integral of ϕ over the boundary of the γ is understood to be the evaluation of ϕ at the endpoints of γ). Notice the striking similarity between this statement and the generalized Stokes’ theorem, which says that the integral of any compactly supported differential form ω over the boundary of some orientable manifold Ω is equal to the integral of its exterior derivative dω over the whole of Ω, i. e.,
This powerful statement is a generalization of the gradient theorem from 1 forms defined on one dimensional manifolds to differential forms defined on manifolds of arbitrary dimension. The converse statement of the gradient theorem also has a powerful generalization in terms of differential forms on manifolds. In particular, suppose ω is a form defined on a contractible domain, and the integral of ω over any closed manifold is zero. Then there exists a form ψ such that 1=ω = dψ. Thus, on a contractible domain, every closed form is exact. This result is summarized by the Poincaré lemma.