Введение
обобщенная производная многомерной функции
Многомерная производная (математика)
В векторном исчислении градиент дифференцируемой функции нескольких переменных со скалярным значением — это векторное поле (или векторная функция), значение которого в точке задает направление и скорость наибольшего возрастания. Градиент преобразуется как вектор при изменении базиса пространства переменных. Если градиент функции отличен от нуля в точке, направление градиента — это направление, в котором функция возрастает наиболее быстро из , а величина градиента — это скорость возрастания в этом направлении, наибольшая абсолютная направленная производная. Кроме того, точка, в которой градиент является нулевым вектором, известна как стационарная точка. Таким образом, градиент играет фундаментальную роль в теории оптимизации, где он используется для минимизации функции методом градиентного спуска. В координатно-независимых терминах градиент функции может быть определен следующим образом:
где — полное бесконечно малое изменение для бесконечно малого смещения , и достигается максимального значения, когда направлен в направлении градиента. Символ набла, записываемый перевернутым треугольником и произносимый «дель», обозначает векторный дифференциальный оператор. При использовании системы координат, в которой базисные векторы не являются функциями положения, градиент задается вектором, компоненты которого являются частными производными в точке . То есть, для , его градиент определяется в точке в n-мерном пространстве как вектор:
Следует отметить, что вышеуказанное определение градиента определено только для функции , если она дифференцируема в . Могут существовать функции, для которых частные производные существуют во всех направлениях, но при этом функция не является дифференцируемой. Например, функция , за исключением начала координат, где , не дифференцируема в начале координат, поскольку не имеет четко определенной касательной плоскости, несмотря на наличие четко определенных частных производных во всех направлениях в начале координат. В этом конкретном примере при вращении системы координат x, y приведенная выше формула для градиента перестает преобразовываться как вектор (градиент становится зависимым от выбора базиса для системы координат), а также перестает указывать направление «наиболее крутого подъема» в некоторых ориентациях. Для дифференцируемых функций, для которых формула градиента справедлива, можно показать, что она всегда преобразуется как вектор при преобразовании базиса, чтобы всегда указывать направление наиболее быстрого возрастания. Градиент двойственен полной производной: значение градиента в точке является касательным вектором — вектором в каждой точке, в то время как значение производной в точке является кокасательным вектором — линейным функционалом на векторах. Они связаны тем, что скалярное произведение градиента в точке с другим касательным вектором равно направленной производной функции вдоль ; то есть, градиент допускает множественные обобщения для более общих функций на многообразиях; см.
Мотивация
Рассмотрим комнату, где температура задается скалярным полем T, так что в каждой точке (x, y, z) температура равна T(x, y, z), не зависящей от времени. В каждой точке комнаты градиент T в этой точке укажет направление, в котором температура возрастает наиболее быстро, при движении от точки (x, y, z). Модуль градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в этом направлении. Рассмотрим поверхность, высота которой над уровнем моря в точке (x, y) равна H(x, y). Градиент H в точке является плоским вектором, указывающим направление самого крутого склона или уклона в этой точке. Крутизна склона в этой точке определяется величиной градиентного вектора. Градиент также можно использовать для измерения того, как скалярное поле изменяется в других направлениях, а не только в направлении наибольшего изменения, путем вычисления скалярного произведения. Предположим, что самый крутой склон на холме составляет 40%. Дорога, идущая прямо в гору, имеет уклон 40%, но дорога, идущая вокруг холма под углом, будет иметь меньший уклон. Например, если дорога находится под углом 60° к направлению в гору (когда оба направления проецируются на горизонтальную плоскость), то уклон вдоль дороги будет равен скалярному произведению вектора градиента и единичного вектора вдоль дороги, поскольку скалярное произведение измеряет, насколько единичный вектор вдоль дороги сонаправлен с самым крутым склоном, то есть 40% умноженное на косинус 60°, или 20%. В более общем случае, если функция высоты холма H дифференцируема, то скалярное произведение градиента H на единичный вектор дает уклон холма в направлении этого вектора, что является направленной производной H вдоль единичного вектора.
Обозначение
Градиент функции в точке обычно записывается как ∇f. Он также может быть обозначен одним из следующих способов:
∇f : чтобы подчеркнуть векторную природу результата. ∂f/∂xᵢ и ∂fᵢ : записано в обозначении Эйнштейна, где повторяющиеся индексы (i) суммируются.
Определение
Градиент (или градиентное векторное поле) скалярной функции f(x1, x2, x3, ..., xn) обозначается ∇f или grad f, где ∇ (набла) обозначает векторный дифференциальный оператор, del. Также часто используется обозначение grad f для представления градиента. Градиент f определяется как единственное векторное поле, скалярное произведение которого с любым вектором 'v' в каждой точке x равно направленной производной f по 'v'. То есть,
где правая часть представляет собой направленную производную, и существует множество способов её записи. Формально, производная является двойственной к градиенту; см. раздел «Связь с производной». Если функция также зависит от параметра, например, времени, то под градиентом часто подразумевается вектор только её пространственных производных (см. «Пространственный градиент»). Величина и направление градиентного вектора не зависят от конкретного выбора системы координат.
Линейное приближение к функции
Лучшее линейное приближение к функции может быть выражено через градиент, а не производную. Градиент функции из евклидова пространства в любую точку характеризует наилучшее линейное приближение к в этой точке. Приближение имеет вид:
для , близкого к , где — градиент, вычисленный в , а точка обозначает скалярное произведение в . Это уравнение эквивалентно первым двум членам разложения в многомерный ряд Тейлора в .
Набор уровней
Уровень поверхности, или изоповерхность, — это множество всех точек, в которых некоторая функция принимает заданное значение. Если f дифференцируема, то скалярное произведение (∇f)ₓ ⋅ v градиента в точке x с вектором v даёт производную f в направлении v в точке x. Отсюда следует, что в этом случае градиент f ортогонален уровням функции f. Например, уровень поверхности в трёхмерном пространстве определяется уравнением вида F(x, y, z) = c. Тогда градиент F является нормалью к поверхности. В более общем случае любая вложенная гиперповерхность в римановом многообразии может быть задана уравнением вида F(P) = 0, причём dF нигде не обращается в ноль. Градиент F тогда является нормалью к гиперповерхности. Аналогично, аффинная алгебраическая гиперповерхность может быть определена уравнением F(x₁, …, xₙ) = 0, где F — многочлен. Градиент F равен нулю в сингулярной точке гиперповерхности (это определение сингулярной точки). В несингулярной точке он является ненулевым нормальным вектором.
Консервативные векторные поля и теорема градиента
Градиент функции называется градиентным полем. Непрерывное градиентное поле всегда является потенциальным векторным полем: его линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от начальной и конечной точек пути и может быть вычислен с помощью теоремы о градиенте (основной теоремы исчисления для криволинейных интегралов). Обратно, любое непрерывное потенциальное векторное поле всегда является градиентом некоторой функции.
Якобский
Якобийская матрица — это обобщение градиента для векторнозначных функций нескольких переменных и дифференцируемых отображений между евклидовыми пространствами или, в более общем случае, многообразиями. Дальнейшим обобщением для функции между банаховыми пространствами является производная Фреше. Пусть f: ℝⁿ → ℝᵐ — функция, для которой существуют все частные производные первого порядка на ℝⁿ. Тогда якобиан функции f определяется как матрица размера m×n, обозначаемая как Jf или просто J. (i,j)-й элемент этой матрицы равен . Явно