Введение

составные производные в исчислении
Для производных составных функций

В математическом анализе цепное правило — это формула, выражающая производную композиции двух дифференцируемых функций f и g через производные функций f и g. Более точно, если функция такова, что для каждого x, то цепное правило в обозначениях Лагранжа выглядит следующим образом:

или, что эквивалентно,

Цепное правило также может быть выражено в обозначениях Лейбница. Если переменная z зависит от переменной y, которая, в свою очередь, зависит от переменной x (то есть y и z — зависимые переменные), то z зависит от x также через промежуточную переменную y. В этом случае цепное правило выражается как

и

для указания точек, в которых необходимо вычислять производные. В интегральном исчислении аналогом цепного правила является правило подстановки.

Правило коэффициента

Правило цепи может быть использовано для вывода некоторых известных правил дифференцирования. Например, правило частного является следствием правила цепи и правила произведения. Чтобы увидеть это, запишите функцию f(x)/g(x) как произведение f(x) · 1/g(x). Сначала применим правило произведения:

Для вычисления производной 1/g(x) заметим, что это композиция g с обратной функцией, то есть функцией, которая отображает x в 1/x. Производная обратной функции равна . Применяя правило цепи, последнее выражение примет вид:

что является обычной формулой для правила частного.

Производные обратных функций

Предположим, что 1=y = g(x) имеет обратную функцию. Обозначим её обратную функцию как f, так что 1=x = f(y). Существует формула для производной f, выраженная через производную g. Чтобы увидеть это, заметим, что f и g удовлетворяют следующему соотношению:

И поскольку функции 1 и x равны, их производные должны быть равны. Производная x – это постоянная функция, равная 1, а производная 1 определяется по правилу цепочки. Следовательно, мы имеем:

Чтобы выразить f' как функцию независимой переменной y, подставим f(y) вместо x везде, где он встречается. Затем мы можем решить уравнение относительно f'. Например, рассмотрим функцию 1=g(x) = e^(x). Она имеет обратную функцию 1=f(y) = ln y. Поскольку 1=g′(x) = e^(x), указанная выше формула утверждает, что

Эта формула верна всякий раз, когда g дифференцируема, а её обратная функция f также дифференцируема. Эта формула может не выполняться, если одно из этих условий не соблюдено. Например, рассмотрим 1=g(x) = x^(3). Её обратная функция 1=f(y) = y^(1/3), которая не дифференцируема в нуле. Если мы попытаемся использовать вышеуказанную формулу для вычисления производной f в нуле, то нам нужно вычислить 1=1/g′(f(0)). Поскольку 1=f(0) = 0 и 1=g′(0) = 0, мы должны вычислить 1/0, что не определено. Следовательно, формула не работает в этом случае. Это неудивительно, поскольку f не дифференцируема в нуле.

Обратное размножение

Цепное правило лежит в основе алгоритма обратного распространения ошибки, который используется при градиентном спуске в нейронных сетях в глубоком обучении (искусственном интеллекте).

Высокодоходные деривативы

Формула Фаа ди Бруно обобщает правило цепочки на производные более высоких порядков. Предполагая, что и , то первые несколько производных будут:

Второе доказательство

Другой способ доказать правило цепочки — измерить ошибку в линейном приближении, определяемом производной. Это доказательство имеет преимущество в том, что оно обобщается на несколько переменных. Оно опирается на следующее эквивалентное определение дифференцируемости в точке: функция g дифференцируема в точке a, если существует действительное число g'(a) и функция ε(h), стремящаяся к нулю при стремлении h к нулю, и, кроме того,

Здесь левая часть представляет собой истинную разность между значением g в точке a и в точке a + h, в то время как правая часть представляет собой приближение, определяемое производной, плюс член погрешности. В случае правила цепочки такая функция ε существует, поскольку предполагается, что g дифференцируема в точке a. Снова, по предположению, аналогичная функция также существует для f в точке g(a). Обозначим эту функцию η, тогда

Вышеуказанное определение не накладывает ограничений на η(0), хотя предполагается, что η(k) стремится к нулю при стремлении k к нулю. Если мы положим 1=η(0) = 0, то η будет непрерывна в 0. Доказательство теоремы требует изучения разности f(g(a + h)) − f(g(a)) при стремлении h к нулю. Первый шаг — подставить g(a + h), используя определение дифференцируемости g в точке a:

Следующий шаг — использовать определение дифференцируемости f в точке g(a). Для этого требуется член вида f(g(a) + k) для некоторого k. В приведенном выше уравнении правильное значение k меняется в зависимости от h. Пусть 1=kh = g'(a)h + ε(h)h, и правая часть станет f(g(a) + kh) − f(g(a)). Применяя определение производной, получим:

Чтобы изучить поведение этого выражения при стремлении h к нулю, раскроем kh. После перегруппировки членов правая часть станет:

Поскольку ε(h) и η(kh) стремятся к нулю при стремлении h к нулю, первые два заключенных в скобки члена стремятся к нулю при стремлении h к нулю. Применяя ту же теорему о произведениях пределов, что и в первом доказательстве, третий заключенный в скобки член также стремится к нулю. Поскольку вышеуказанное выражение равно разности f(g(a + h)) − f(g(a)), по определению производной f ∘ g дифференцируема в точке a, и ее производная равна f'(g(a))g'(a). Роль Q в первом доказательстве играет η в этом доказательстве. Они связаны уравнением:

Необходимость определения Q в точке g(a) аналогична необходимости определения η в нуле.

Высшие производные многомерных функций

Формула Фаа ди Бруно для производных высшего порядка функций одной переменной обобщается на случай нескольких переменных. Если y = f(u) является функцией u = g(x), как описано выше, то вторая производная композиции f ∘ g равна:

Дальнейшие обобщения

Все расширения анализа имеют правило цепочки. В большинстве из них формула остаётся той же, хотя смысл этой формулы может быть совершенно иным. Одно из обобщений — многообразия. В этом случае правило цепочки выражает тот факт, что производная композиции f ∘ g является композицией производной f и производной g. Эта теорема является непосредственным следствием правила цепочки для высших размерностей, представленного выше, и имеет точно такую же формулу. Правило цепочки также справедливо для производных Фреше в пространствах Банаха. Формула остаётся прежней. Этот случай и предыдущий допускают одновременное обобщение на банаховы многообразия. В дифференциальной алгебре производная интерпретируется как морфизм модулей келеровых дифференциалов. Гомоморфизм колец коммутативных колец f : R → S определяет морфизм келеровых дифференциалов Df : ΩR → ΩS, который отображает элемент dr в d(f(r)) — внешнее дифференцирование f(r). Формула 1=D(f ∘ g) = Df ∘ Dg также верна в этом контексте. Общая черта этих примеров заключается в том, что они выражают идею о том, что производная является частью функтора. Функтор — это операция над пространствами и функциями между ними. Он сопоставляет каждому пространству новое пространство, а каждой функции между двумя пространствами — новую функцию между соответствующими новыми пространствами. В каждом из вышеперечисленных случаев функтор отображает каждое пространство в его касательный расслоение и каждую функцию — в её производную. Например, в случае многообразия производная отображает C^(r)-многообразие в C^(r−1)-многообразие (его касательное расслоение) и C^(r)-функцию — в её полную производную. Для того чтобы это было функтором, необходимо одно условие: производная композиции должна быть композицией производных. Это точно соответствует формуле 1=D(f ∘ g) = Df ∘ Dg. Существуют также правила цепочки в стохастическом исчислении. Одно из них, лемма Ито, выражает композицию процесса Ито (или, в более общем случае, полумартингала) dXt с дважды дифференцируемой функцией f. В лемме Ито производная составной функции зависит не только от dXt и производной f, но и от второй производной f. Зависимость от второй производной является следствием ненулевой квадратичной вариации стохастического процесса, что, в широком смысле, означает, что процесс может двигаться вверх и вниз очень неровно. Этот вариант правила цепочки не является примером функтора, поскольку две функции, которые подвергаются композиции, имеют разные типы.