Введение
Математическая функция без резких изменений
В математике непрерывная функция – это функция, при которой малое изменение аргумента вызывает малое изменение значения функции. Это означает отсутствие скачкообразных изменений значения, известных как разрывы. Более точно, функция считается непрерывной, если для любого сколь угодно малого изменения её значения можно подобрать достаточно малое изменение аргумента, обеспечивающее это изменение. Функция, не являющаяся непрерывной, называется разрывной. До XIX века математики в основном опирались на интуитивное понимание непрерывности и рассматривали только непрерывные функции. Определение предела через эпсилон-дельта было введено для формализации определения непрерывности. Непрерывность – одна из ключевых концепций математического анализа и исчисления, где аргументы и значения функций являются действительными и комплексными числами. Эта концепция была обобщена на функции между метрическими и топологическими пространствами. Последние представляют собой наиболее общие непрерывные функции, и их определение лежит в основе топологии. Более строгой формой непрерывности является равномерная непрерывность. В теории порядка, особенно в теории доменов, существует связанное понятие непрерывности – непрерывность Скотта. Например, функция H(t), обозначающая высоту растущего цветка в момент времени t, будет считаться непрерывной. В отличие от неё, функция M(t), обозначающая сумму денег на банковском счете в момент времени t, будет считаться разрывной, поскольку она "скачет" в каждый момент времени при внесении или снятии денег.
История
Форма определения непрерывности в стиле эпсилон-дельта была впервые предложена Бернардом Болцано в 1817 году. Огюстен Луи Коши определил непрерывность следующим образом: бесконечно малый прирост независимой переменной x всегда порождает бесконечно малое изменение зависимой переменной y (см., например, Cours d'Analyse, с. 34). Коши определял бесконечно малые величины через переменные величины, и его определение непрерывности тесно соотносится с бесконечно малым определением, используемым сегодня (см. микронепрерывность). Формальное определение и разграничение между точечной и равномерной непрерывностью были впервые даны Болцано в 1830-х годах, однако работа была опубликована лишь в 1930-х годах. Подобно Болцано, Карл Вейерштрасс отрицал непрерывность функции в точке c, если она не была определена в самой точке и по обе стороны от неё, в то время как Эдуард Гурса разрешал определять функцию только в самой точке и с одной стороны от неё, а Камиль Жордан допускал даже случай, когда функция была определена только в точке c. Все три этих неэквивалентных определения точечной непрерывности до сих пор применяются. Эдуард Хайне впервые опубликовал определение равномерной непрерывности в 1872 году, однако основывал свои идеи на лекциях, прочитанных Петером Густавом Леженом Дирихле в 1854 году.
Определение в терминах кварталов
Соседство точки c – это множество, содержащее, по крайней мере, все точки на некотором фиксированном расстоянии от c. Интуитивно, функция непрерывна в точке c, если область значений f над окрестностью c стремится к одной точке при стремлении ширины окрестности вокруг c к нулю. Более точно, функция f непрерывна в точке c своей области определения, если для любой окрестности существует окрестность в области определения такая, что при выполнении условия…
Поскольку окрестности определены в любом топологическом пространстве, это определение непрерывной функции применимо не только к функциям действительных переменных, но и в случае, когда область определения и область значений являются топологическими пространствами, и, таким образом, является наиболее общим определением. Следовательно, функция автоматически непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения. Например, любая функция, принимающая действительные значения на множестве целых чисел, непрерывна.
Определение с использованием колебаний
Непрерывность также может быть определена в терминах колебания: функция f непрерывна в точке тогда и только тогда, когда её колебание в этой точке равно нулю; в символах, . Преимущество этого определения заключается в том, что оно позволяет количественно оценить разрывность: колебание показывает, насколько функция разрывна в данной точке. Это определение полезно в описательной теории множеств для изучения множества точек разрыва и точек непрерывности – точки непрерывности являются пересечением множеств, где колебание меньше (следовательно, это множество) – и даёт быстрое доказательство одного из направлений условия интегрируемости по Лебегу. Колебание эквивалентно определению, основанному на простой перестановке и использовании предела (lim sup, lim inf) для определения колебания: если (в заданной точке) для заданного ε не существует δ, удовлетворяющего определению, то колебание не меньше ε, и наоборот, если для каждого ε существует требуемое δ, то колебание равно 0. Определение колебания может быть естественным образом обобщено на отображения из топологического пространства в метрическое пространство.
Определение с использованием гиперреальных
Коши определил непрерывность функции следующим интуитивно понятным образом: бесконечно малому изменению независимой переменной соответствует бесконечно малое изменение зависимой переменной (см. Cours d'analyse, стр. 34). Нестандартный анализ — это способ придать этому математическую строгость. Действительная прямая расширяется путем добавления бесконечно больших и бесконечно малых чисел, образуя гипердействительные числа. В нестандартном анализе непрерывность можно определить следующим образом (см. микронепрерывность). Иными словами, бесконечно малый прирост независимой переменной всегда порождает бесконечно малое изменение зависимой переменной, что является современной формулировкой определения непрерывности, данного Огюстеном Луи Коши.
Теорема о крайних значениях
Теорема о наибольшем и наименьшем значениях гласит, что если функция f определена на замкнутом интервале (или любом замкнутом и ограниченном множестве) и непрерывна на нём, то функция достигает своего максимума, то есть существует такое число c, что f(c) ≥ f(x) для всех x из области определения. То же самое верно и для минимума f. Эти утверждения, как правило, неверны, если функция определена на открытом интервале (или любом множестве, которое не является одновременно замкнутым и ограниченным), например, непрерывная функция, определённая на открытом интервале (0,1), не достигает максимума, поскольку она неограничена сверху.
Направленный и полунепрерывный
Непрерывные функции могут быть разрывными особым образом, что приводит к понятию направленной непрерывности (или право- и левонепрерывных функций) и полунепрерывности. Грубо говоря, функция является правонепрерывной, если при приближении к предельной точке справа скачков не происходит. Формально, функция f называется правонепрерывной в точке c, если выполняется следующее: для любого числа, каким бы малым оно ни было, существует такое число, что для всех x из области определения, удовлетворяющих условию , значение будет удовлетворять
Это то же условие, что и для непрерывных функций, за исключением того, что оно должно выполняться только для x строго больше c. Если потребовать его выполнения для всех x, удовлетворяющих условию , то получится понятие левонепрерывных функций. Функция является непрерывной тогда и только тогда, когда она одновременно право- и левонепрерывна. Функция f является нижним полунепрерывной, если, грубо говоря, любые возможные скачки происходят только вниз, но не вверх. То есть, для любого существует такое число , что для всех x из области определения, удовлетворяющих условию , значение удовлетворяет
Обратным условием является верхняя полунепрерывность.
Альтернативные определения
Существует несколько эквивалентных определений топологической структуры, следовательно, существует несколько эквивалентных способов определения непрерывной функции.
Фильтры и предварительные фильтры
Непрерывность также может быть охарактеризована в терминах фильтров. Функция непрерывна тогда и только тогда, когда для любого фильтра на , сходящегося в точке , соответствующий предварительный фильтр сходится в . Эта характеристика остаётся верной, если слово "фильтр" заменить словом "предварительный фильтр".
Гомеоморфизмы
Симметричным понятию непрерывного отображения является открытое отображение, для которого образы открытых множеств открыты. Если открытое отображение f имеет обратную функцию, то эта обратная функция непрерывна, а если непрерывное отображение g имеет обратную функцию, то эта обратная функция открыта. Для биективного отображения f между двумя топологическими пространствами обратная функция не обязана быть непрерывной. Биективное непрерывное отображение с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом. Если непрерывное биективное отображение имеет в качестве области компактное пространство, а область значений — хаусдорфово, то оно является гомеоморфизмом.