Введение
Название:En (алгебра Ли) + Динкинские диаграммыКонечныйE3=A2A1E4=A4E5=D5E6E7E8Affine (расширенный)E9 или E или EHyperbolic (сверхрасширенный)E10 или E или ELorentzian (очень расширенный)E11 или EKacMoody E12 или E В математике, особенно в теории Ли, En является алгеброй KacMoody, диаграмма Динкина которой представляет собой бифуркационный график с тремя ветвями длиной 1, 2 и k, с 1=k = n − 4. В некоторых старых книгах и статьях E2 и E4 используются в качестве названий для G2 и F4.
+ Dynkin diagramsFiniteE3=A2A1E4=A4E5=D5E6E7E8Affine (Extended)E9 or E or EHyperbolic (Over extended)E10 or E or ELorentzian (Very extended)E11 or EKac–Moody E12 or E
In mathematics, especially in Lie theory, En is the Kac–Moody algebra whose Dynkin diagram is a bifurcating graph with three branches of length 1, 2 and k, with 1=k = n − 4. In some older books and papers, E2 and E4 are used as names for G2 and F4.
Конечные алгебры Ли
Группа En похожа на группу An, за исключением того, что n-й узел соединен с 3-м узлом. Таким образом, матрица Картана выглядит похожей, -1 над и ниже диагонали, за исключением последнего ряда и колонки, имеют -1 в третьем ряду и колонке. Детерминанта матрицы Картана для En равна 9 − n. E3 - другое название алгебры Ли A1A2 измерения 11, с детерминантом Картана 6. E4 - это другое название алгебры Ли A4 измерения 24, с детерминантом Картана 5. E5 - это другое название алгебры Ли D5 измерения 45, с детерминантом Картана 4. E6 - исключительная алгебра Ли из измерения 78, с детерминантой Картана 3. E7 - исключительная алгебра Ли измерения 133, с детерминантой Картана 2. E8 - исключительная алгебра Ли из измерения 248, с детерминантой Картана 1.
E3 is another name for the Lie algebra A1A2 of dimension 11, with Cartan determinant 6. E4 is another name for the Lie algebra A4 of dimension 24, with Cartan determinant 5. E5 is another name for the Lie algebra D5 of dimension 45, with Cartan determinant 4. E6 is the exceptional Lie algebra of dimension 78, with Cartan determinant 3. E7 is the exceptional Lie algebra of dimension 133, with Cartan determinant 2. E8 is the exceptional Lie algebra of dimension 248, with Cartan determinant 1.
Бесконечные алгебры Ли
E9 - это другое название для бесконечномерной аффинной алгебры Лие Ẽ8 (также E или E как (один узел) расширенная E8) (или решетка E8), соответствующая алгебре Лие типа E8. E9 имеет матрицу Картана с детерминантом 0. E10 (или E или E как (два узла) над расширенным E8) - бесконечная размерная алгебра КацМуди, корневая решетка которой является четной Лоренцианской унимодульной решеткой II9,1 измерения 10. Некоторые из его корневых множеств были рассчитаны; для небольших корней множества, кажется, хорошо ведут себя, но для больших корней наблюдаемые модели ломаются. E10 имеет матрицу Картана с детерминантом -1: E11 (или E как (три узла) очень расширенная E8) - это алгебра Лоренца, содержащая одно время, подобное воображаемому измерению, которое было предположено для генерации "группы" симметрии теории M. En для n ≥ 12 - это семейство бесконечных измерений KacMoody algebras, которые не изучены.
E11 (or E as a (three node) very extended E8) is a Lorentzian algebra, containing one time like imaginary dimension, that has been conjectured to generate the symmetry "group" of M theory. En for n ≥ 12 is a family of infinite dimensional Kac–Moody algebras that are not well studied.
Корневая решетка
Корневая решетка En имеет детерминанту 9 − n, и может быть построена как решетка векторов в унимодульной Лоренцевой решетке Zn, 1 которые ортогональны к вектору нормы n × 12 − 32 = n − 9.
Е
Ландсберг и Манивель расширили определение En для целого числа n, чтобы включить случай n = 7 1/2. Они сделали это, чтобы заполнить "дыру" в формулах измерений для представлений ряда En, которая была замечена Cvitanovic, Deligne, Cohen и de Man. E7 1/2 имеет размерность 190, но это не простая алгебра Ли: она содержит 57-мерную алгебру Гейзенберга в качестве нилрадикальной.