Введение
В математике дифференциальное вариационное неравенство (DVI) - динамическая система, которая включает в себя обычные дифференциальные уравнения и вариационные неравенства или проблемы комплементарности. DVI полезны для представления моделей, включающих как динамику, так и ограничения неравенства. Примеры таких проблем включают, например, механические проблемы воздействия, электрические схемы с идеальными диодами, кулоновые проблемы трения для контактных тел и динамические экономические и связанные с ними проблемы, такие как динамические сети трафика и сети очередей (где ограничения могут быть либо верхними границами длины очереди, либо длиной очереди не может стать отрицательным). DVI связаны с рядом других концепций, включая дифференциальные включения, спроектированные динамические системы, эволюционные неравенства и параболические вариационные неравенства. Дифференциальное вариационное неравенство было впервые официально введено Пэнгом и Стюартом, чье определение не следует путать с дифференциальным вариационным неравенством, используемым в Aubin and Cellina (1984). Дифференциальные вариационные неравенства имеют форму, чтобы найти такие, что для каждого и почти всех t; K закрытого выпуклого множества, где тесно связанные с DVI являются динамическими/дифференциальными проблемами комплементарности: если K является закрытым выпуклым конусом, то вариационное неравенство эквивалентно проблеме комплементарности:
for every and almost all t; K a closed convex set, where
Closely associated with DVIs are dynamic/differential complementarity problems: if K is a closed convex cone, then the variational inequality is equivalent to the complementarity problem:
Механический контакт
Представьте себе жесткий шар радиуса, падающий с высоты к столу. Предположим, что силами, действующими на мяч, являются гравитация и контактные силы стола, препятствующие проникновению. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее движение, где масса шара и сила соприкосновения стола, и ускорение гравитации. Обратите внимание, что оба и априори неизвестны. Пока мяч и стол отделены, никакой силы контакта не возникает. Не может быть проникновения (для жесткого шара и жесткого стола), поэтому для всех Если тогда С другой стороны, если , то может принимать любое неотрицательное значение. (Мы не разрешаем, так как это соответствует какому-то типу клея.) Это можно суммировать отношением комплементарности В приведенной выше формулировке мы можем установить , так что его двойной конус также является множеством неотрицательных действительных чисел; это дифференциальная проблема комплементарности.
where is the mass of the ball and is the contact force of the table, and is the gravitational acceleration. Note that both and are a priori unknown. While the ball and the table are separated, there is no contact force. There cannot be penetration (for a rigid ball and a rigid table), so for all If then On the other hand, if , then can take on any non negative value. (We do not allow as this corresponds to some kind of adhesive.) This can be summarized by the complementarity relationship
In the above formulation, we can set , so that its dual cone is also the set of non negative real numbers; this is a differential complementarity problem.
Идеальные диоды в электрических схемах
Идеальный диод - это диод, который проводит электричество в направлении вперед без сопротивления, если применяется напряжение вперед, но не позволяет потоку течь в обратном направлении. Если обратное напряжение равняется , а переходящий ток равен , то между ними существует взаимосвязь дополнения: для всех, если диод находится в цепи, содержащей элемент памяти, такой как конденсатор или индуктор, то цепь может быть представлена как дифференциальное вариационное неравенство.
for all If the diode is in a circuit containing a memory element, such as a capacitor or inductor, then the circuit can be represented as a differential variational inequality.
Индекс
Концепция индекса DVI важна и определяет многие вопросы о существовании и уникальности решений DVI. Это понятие тесно связано с понятием индекса для дифференциальных алгебраических уравнений (DAE), которое представляет собой количество раз, когда алгебраические уравнения DAE должны дифференцироваться, чтобы получить полную систему дифференциальных уравнений для всех переменных. Это также понятие, близкое к относительной степени теории управления, которая, грубо говоря, является количеством раз, когда переменная "выход" должна быть дифференцирована, чтобы переменная "вход" явственно появлялась в теории управления (это используется для получения канонической формы пространства состояний, которая включает в себя так называемую "нулевую динамику", фундаментальное понятие для управления). Для DVI индекс - это количество дифференциаций F{\displaystyle F} t, x, u = 0, необходимых для локальной идентификации u как функции t и x. Этот индекс можно рассчитать для вышеуказанных примеров. Для механического примера воздействия, если мы дифференцируем один раз, у нас есть , которое еще не включает в себя явно Однако, если мы дифференцируем еще раз, мы можем использовать дифференциальное уравнение, чтобы дать , которое явно включает в себя Кроме того, если , мы можем явно определить с точки зрения Для идеальных диодных систем, вычисления значительно сложнее, но при условии соблюдения некоторых общепринятых условий, дифференциальное вариационное неравенство может быть показано как имеющее индекс один. Дифференциальное вариационное неравенство с индексом больше двух, как правило, не имеет смысла, но определенные условия и интерпретации могут сделать их значимыми (см. ссылки Акари, Броглиато и Гоельвен, а также Хемельса, Шумахера и Вейланда ниже). Одним из важнейших шагов является определение подходящего пространства решений (распределения Шварца).
For the ideal diode systems, the computations are considerably more difficult, but provided some generally valid conditions hold, the differential variational inequality can be shown to have index one. Differential variational inequalities with index greater than two are generally not meaningful, but certain conditions and interpretations can make them meaningful (see the references Acary, Brogliato and Goeleven, and Heemels, Schumacher, and Weiland below). One crucial step is to first define a suitable space of solutions (Schwartz' distributions).