Введение

Частичное дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию температуры в области.

В математике и физике уравнение теплопроводности — это определенное частное дифференциальное уравнение. Решения уравнения теплопроводности иногда называют калорическими функциями. Теория уравнения теплопроводности была впервые разработана Жозефом Фурье в 1822 году с целью моделирования распространения величины, такой как тепло, в заданной области. Как прототипическое параболическое частное дифференциальное уравнение, уравнение теплопроводности является одной из наиболее широко изучаемых тем в чистой математике, и его анализ считается фундаментальным для более широкой области частных дифференциальных уравнений. Уравнение теплопроводности также может рассматриваться на римановых многообразиях, что приводит ко многим геометрическим приложениям. После работ Суббарамиа Минакшисундарама и Оке Плейеля уравнение теплопроводности тесно связано со спектральной геометрией. Вариант уравнения теплопроводности, нелинейный по своей природе, был введен в дифференциальную геометрию Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном в 1964 году, что послужило вдохновением для введения потока Риччи Ричардом Гамильтоном в 1982 году и завершилось доказательством гипотезы Пуанкаре Григорием Перельманом в 2003 году. Определенные решения уравнения теплопроводности, известные как ядра теплопроводности, предоставляют тонкую информацию об области, в которой они определены, что демонстрируется на примере их применения к теореме об индексе Атия — Зингера. Уравнение теплопроводности, вместе с его вариантами, также важно во многих областях науки и прикладной математики. В теории вероятностей уравнение теплопроводности связано с изучением случайных блужданий и броуновского движения посредством уравнения Фоккера — Планка. Уравнение Блэка — Шоулза в финансовой математике является небольшим вариантом уравнения теплопроводности, а уравнение Шрёдингера в квантовой механике можно рассматривать как уравнение теплопроводности в мнимом времени. В анализе изображений уравнение теплопроводности иногда используется для устранения пикселизации и выделения границ. После введения Робертом Рихтмайером и Джоном фон Нейманом методов «искусственной вязкости» решения уравнений теплопроводности оказались полезными в математической формулировке гидродинамических скачков. Решения уравнения теплопроводности также получили значительное внимание в литературе по численному анализу, начиная с 1950-х годов с работ Джима Дугласа, Д. У. Писмена и Генри Рэчфорда-младшего.

Физическая интерпретация уравнения

Неформально, оператор Лапласа ∆ показывает разницу между средним значением функции в окрестности точки и её значением в самой точке. Таким образом, если u – температура, то ∆ указывает, насколько (и в какой степени) материал, окружающий данную точку, в среднем горячее или холоднее, чем материал в этой точке. В соответствии со вторым законом термодинамики, тепло перетекает от более горячих тел к соседним более холодным телам пропорционально разности температур и теплопроводности материала между ними. Когда тепло поступает в материал (соответственно, покидает его), его температура возрастает (соответственно, понижается) пропорционально количеству поступившего тепла, деленному на количество (массу) материала, при этом коэффициентом пропорциональности является удельная теплоёмкость материала. Объединяя эти наблюдения, уравнение теплопроводности утверждает, что скорость изменения температуры материала в данной точке (нагрев или охлаждение) пропорциональна тому, насколько окружающий материал горячее или холоднее. Коэффициент α в уравнении учитывает теплопроводность, удельную теплоёмкость и плотность материала.

Характер растворов

Уравнение теплопроводности означает, что пики (локальные максимумы) будут постепенно сглаживаться, а углубления (локальные минимумы) – заполняться. Значение в некоторой точке останется стабильным только до тех пор, пока оно равно среднему значению в ее непосредственном окружении. В частности, если значения в окрестности очень близки к линейной функции, то значение в центре этой окрестности не будет изменяться в данный момент времени (то есть производная будет равна нулю). Более тонким следствием является принцип максимума, утверждающий, что максимальное значение в любой области среды не превысит максимальное значение, которое ранее наблюдалось в этой области, если только оно не находится на границе этой области. Иными словами, максимальная температура в области может увеличиваться только при поступлении тепла извне. Это свойство параболических дифференциальных уравнений, которое несложно доказать математически (см. ниже). Другое интересное свойство заключается в том, что даже если функция изначально имеет резкий скачок (разрыв) значения на некоторой поверхности внутри среды, этот скачок немедленно сглаживается мгновенным, бесконечно коротким, но бесконечно большим потоком тепла через эту поверхность. Например, если два изолированных тела, первоначально имеющие однородные, но разные температуры и , соприкоснутся, температура в точке контакта немедленно примет некоторое промежуточное значение, и вокруг этой точки сформируется зона, где функция будет постепенно изменяться между и . Если к некоторой точке среды внезапно подводится определенное количество тепла, оно распространится во всех направлениях в виде диффузионной волны. В отличие от упругих и электромагнитных волн, скорость диффузионной волны уменьшается со временем: по мере распространения на большую площадь температурный градиент снижается, а следовательно, уменьшается и тепловой поток.

Неравномерная изотропная среда

Обратите внимание, что уравнение состояния, вытекающее из первого закона термодинамики (то есть закона сохранения энергии), записывается в следующем виде (при условии отсутствия массопереноса или излучения). Эта форма более общая и особенно полезна для определения того, какое свойство (например, cp или) влияет на какой член уравнения. где – объемный источник тепла.

Внутреннее производство тепла

Функция u, представленная выше, описывает температуру тела. В качестве альтернативы, иногда бывает удобно изменить единицы измерения и представить u как плотность теплоты среды. Поскольку плотность теплоты пропорциональна температуре в однородной среде, уравнение теплопроводности остаётся справедливым и в новых единицах измерения. Предположим, что тело подчиняется уравнению теплопроводности и, кроме того, генерирует собственное тепло на единицу объёма (например, в ваттах на литр, Вт/л) с интенсивностью, определяемой известной функцией q, изменяющейся в пространстве и времени. Тогда плотность теплоты u удовлетворяет уравнению.

Например, нить накаливания в вольфрамовой лампе генерирует тепло, поэтому при включении она будет иметь положительное ненулевое значение q. Когда же лампа выключена, значение q для вольфрамовой нити будет равно нулю.

Обобщение метода раствора

Метод решения, использованный выше, может быть значительно расширен на многие другие типы уравнений. Идея заключается в том, что оператор uxx с нулевыми граничными условиями может быть представлен через собственные функции. Это естественно приводит к одной из основных идей спектральной теории линейных самосопряжённых операторов. Рассмотрим линейный оператор Δu = uxx. Бесконечная последовательность функций для n ≥ 1 является собственными функциями Δ. Действительно,

Более того, любая собственная функция f оператора Δ, удовлетворяющая граничным условиям f(0) = f(L) = 0, имеет вид en для некоторого n ≥ 1. Функции en для n ≥ 1 образуют ортонормальную последовательность относительно некоторого внутреннего произведения в пространстве вещественнозначных функций на [0, L]. Это означает, что

Наконец, последовательность {en}n ∈ N порождает плотное линейное подпространство в L2((0, L)). Это показывает, что по сути мы диагонализовали оператор Δ.

Некоторые решения функций Грина в 1D

Здесь представлены различные элементарные решения функции Грина в одном измерении; многие другие доступны в других источниках. В некоторых случаях пространственная область задается как (−∞,∞). В других – как полубесконечный интервал (0,∞) с граничными условиями либо Неймана, либо Дирихле. Кроме того, некоторые из этих решений применяются к неоднородному уравнению, где f – заданная функция от x и t.

Термодифузивность в полимерах

Прямым практическим применением уравнения теплопроводности в сочетании с теорией Фурье в сферических координатах является прогнозирование профилей теплопередачи и измерение тепловой диффузии в полимерах (Ансворт и Дуарте). Этот двойной теоретико-экспериментальный метод применим к резине, различным другим полимерным материалам, представляющим практический интерес, и микрожидкостям. Эти авторы вывели выражение для температуры в центре сферы TC, где T0 – начальная температура сферы, а TS – температура на поверхности сферы радиуса L. Это уравнение также нашло применение в передаче энергии в белках и тепловом моделировании в биофизике.

Применение в различных областях

Уравнение теплопроводности возникает при моделировании множества явлений и часто используется в финансовой математике для моделирования опционов. Дифференциальное уравнение модели ценообразования опционов Блэка — Шоулза может быть преобразовано в уравнение теплопроводности, что позволяет получать относительно простые решения, опираясь на хорошо известные математические методы. Многие расширения простых моделей опционов не имеют аналитических решений и, следовательно, должны решаться численно для получения расчетной цены опциона. Уравнение, описывающее диффузию давления в пористой среде, имеет ту же форму, что и уравнение теплопроводности. Задачи диффузии с граничными условиями Дирихле, Неймана и Робина имеют аналитические решения в замкнутой форме. Уравнение теплопроводности также широко используется в анализе изображений и в машинном обучении как теоретическая основа методов масштабирования или лапласианов графов. Уравнение теплопроводности может быть эффективно решено численно с использованием неявной схемы Кранка — Никольсона. Этот метод можно распространить на многие модели, не имеющие аналитических решений, например, абстрактная форма уравнения теплопроводности на многообразиях является основным подходом к теореме об индексе Атия — Сингера и привела к дальнейшим исследованиям уравнений теплопроводности в римановой геометрии.