Введение

Выражение, часто встречающееся в математической физике, является обобщением уравнения Лапласа. Уравнение Пуассона — это эллиптическое частное дифференциальное уравнение, широко используемое в теоретической физике. Например, решение уравнения Пуассона представляет собой потенциальное поле, создаваемое заданным распределением электрического заряда или плотности массы; зная потенциальное поле, можно вычислить электростатическое или гравитационное силовое поле. Оно является обобщением уравнения Лапласа, которое также часто встречается в физике. Уравнение названо в честь французского математика и физика Симеона Дениса Пуассона.

Реконструкция поверхности

Реконструкция поверхности — это обратная задача. Цель состоит в цифровом восстановлении гладкой поверхности на основе большого количества точек pi (облако точек), где каждая точка также несет оценку локальной нормали поверхности ni. Уравнение Пуассона может быть использовано для решения этой задачи с помощью метода, называемого реконструкцией поверхности Пуассона. Целью этого метода является реконструкция неявной функции f, значение которой равно нулю в точках pi, а градиент в точках pi равен нормальным векторам ni. Таким образом, множество (pi, ni) моделируется как непрерывное векторное поле V. Неявная функция f находится путем интегрирования векторного поля V. Поскольку не каждое векторное поле является градиентом функции, задача может иметь или не иметь решения: необходимым и достаточным условием для того, чтобы гладкое векторное поле V было градиентом функции f, является то, что ротор V должен быть тождественно равен нулю. В случае, если это условие трудно обеспечить, все же можно выполнить метод наименьших квадратов для минимизации разницы между V и градиентом f.

Для эффективного применения уравнения Пуассона к задаче реконструкции поверхности необходимо найти хорошую дискретизацию векторного поля V. Основной подход заключается в ограничении данных конечной разностной сеткой. Для функции, заданной в узлах такой сетки, ее градиент может быть представлен как заданный на сдвинутых сетках, то есть на сетках, узлы которых расположены между узлами исходной сетки. Удобно определить три сдвинутые сетки, каждая из которых смещена в одном и только одном направлении, соответствующем компонентам вектора нормали. На каждой сдвинутой сетке выполняется трехлинейная интерполяция для множества точек. Затем веса интерполяции используются для распределения величины соответствующей компоненты ni на узлы конкретной ячейки сдвинутой сетки, содержащей pi. Каждан и его соавторы предлагают более точный метод дискретизации с использованием адаптивной конечной разностной сетки, то есть ячейки сетки меньше (сетка более детализирована) там, где больше точек данных. Они предлагают реализовать эту технику с помощью адаптивного октаэдра.