Введение

Термин, относящийся к свойствам, которыми должны обладать математические модели физических явлений.

В математике, хорошо поставленная задача – это задача, для которой выполняются следующие свойства:
Задача имеет решение.
Решение единственно.
Поведение решения непрерывно меняется в зависимости от начальных условий.

Примеры классических хорошо поставленных задач включают проблему Дирихле для уравнения Лапласа и уравнение теплопроводности с заданными начальными условиями. Эти задачи можно рассматривать как «естественные», поскольку существуют физические процессы, которые они моделируют. Задачи, не удовлетворяющие вышеуказанным свойствам, называются плохо поставленными. Обратные задачи часто являются плохо поставленными; например, обратная задача теплопроводности, заключающаяся в определении предыдущего распределения температуры по конечным данным, не является хорошо поставленной, поскольку решение крайне чувствительно к изменениям в конечных данных. Модели континуума часто необходимо дискретизировать для получения численного решения. Хотя решения могут быть непрерывными относительно начальных условий, они могут страдать от численной неустойчивости при решении с конечной точностью или при наличии ошибок в данных.

Кондиционирование

Даже если задача хорошо поставлена, она все равно может быть плохо обусловлена, что означает, что небольшая ошибка в исходных данных может привести к значительно большим ошибкам в решении. Примеры нестабильности хорошо известны в задачах, связанных с нелинейными сложными системами (так называемыми хаотическими системами). О плохо обусловленной задаче свидетельствует большое число обусловленности. Если задача хорошо поставлена, то существует высокая вероятность ее решения на компьютере с использованием устойчивого алгоритма. Если же она не является хорошо поставленной, ее необходимо переформулировать для численного решения. Как правило, это включает в себя добавление дополнительных предположений, таких как гладкость решения. Этот процесс известен как регуляризация. Регуляризация Тихонова – один из наиболее распространенных методов регуляризации линейных плохо обусловленных задач.