Введение

Распределения, также известные как распределения Шварца или обобщённые функции, — это объекты, обобщающие классическое понятие функций в математическом анализе. Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет обобщённую производную. Распределения широко используются в теории уравнений в частных производных, где может быть проще установить существование распределённых (слабых) решений, чем классических, или где соответствующие классические решения могут отсутствовать. Распределения также важны в физике и инженерии, где многие задачи естественным образом приводят к дифференциальным уравнениям, решения или начальные условия которых сингулярны, например, дельта-функция Дирака. Обычно функция рассматривается как действующая на точки в области определения, «отображая» точку в область определения в точку . Вместо действия на точки теория распределений переинтерпретирует такие функции как действие на тестовые функции определённым образом. В приложениях к физике и инженерии тестовые функции обычно представляют собой бесконечно дифференцируемые комплекснозначные (или вещественнозначные) функции с компактным носителем, определённые на некотором заданном непустом открытом подмножестве (функции Бампа являются примерами тестовых функций). Множество всех таких тестовых функций образует векторное пространство, которое обозначается или .

Наиболее часто встречающиеся функции, включая все непрерывные отображения , если использовать , могут быть канонически переинтерпретированы как действующие посредством «интегрирования по тестовой функции». Явно это означает, что такая функция «действует» на тестовую функцию , «отображая» её в число , которое часто обозначается как . Это новое действие определяет скалярнозначное отображение, областью определения которого является пространство тестовых функций . Этот функционал оказывается обладающим двумя определяющими свойствами того, что известно как распределение на : он линеен и непрерывен при задании определённой топологии, называемой канонической LF-топологией. Действие (интегрирование) этого распределения на тестовую функцию можно интерпретировать как взвешенное среднее распределения на носителе тестовой функции, даже если значения распределения в одной точке не определены однозначно. Распределения, подобные этому, возникающие из функций таким образом, являются прототипическими примерами распределений, но существует множество распределений, которые нельзя определить интегрированием по какой-либо функции. Примеры последних включают дельта-функцию Дирака и распределения, определяемые как действующие путём интегрирования тестовых функций по определённым мерам на . Тем не менее, всегда возможно свести любое произвольное распределение к более простому семейству связанных распределений, которые возникают посредством таких действий интегрирования. В более общем смысле, распределение на по определению является линейным функционалом на , который непрерывен при задании топологии, называемой канонической LF-топологией. Это приводит к пространству (всех) распределений на , обычно обозначаемому (обратите внимание на штрих), которое по определению является пространством всех распределений на (то есть это непрерывное двойственное пространство); именно эти распределения являются основным предметом данной статьи. Определения соответствующих топологий на пространствах тестовых функций и распределений приведены в статье о пространствах тестовых функций и распределений. В данной статье в первую очередь рассматривается определение распределений, их свойства и некоторые важные примеры.

История

Практическое использование распределений можно проследить до использования функций Грина в 1830-х годах для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но было формализовано лишь значительно позже. Согласно [имя автора], обобщённые функции возникли в работах над гиперболическими частными дифференциальными уравнениями второго порядка, а идеи были развиты в несколько расширенной форме Лораном Шварцем в конце 1940-х годов. Согласно его автобиографии, Шварц ввёл термин "распределение" по аналогии с распределением электрического заряда, возможно, включая не только точечные заряды, но и диполи и так далее. [Имя автора] отмечает, что, хотя идеи в основополагающей книге [имя автора] не были совершенно новыми, именно масштабный подход Шварца и его убеждение в том, что распределения будут полезны практически во всех областях анализа, имели решающее значение.

Каноническая топология LF

Вспомним, что обозначает все функции в , имеющие компактный носитель в , где стоит отметить, что является объединением всех как по всем компактным подмножествам . Более того, для каждого является плотным подмножеством. Частный случай, когда , дает нам пространство тестовых функций. Каноническая LF-топология не метризуема и, что важно, она строго тоньше, чем индуцированная на топология подпространства. Однако, каноническая LF-топология делает полным, рефлексивным, ядерным, монтелевским, борнологическим пространством Маккея; то же самое верно и для его сильного двойственного пространства (то есть пространства всех обобщенных функций с его обычной топологией). Каноническую LF-топологию можно определить различными способами.

Топология пространства распределений и его связь с слабо-* топологией

Множество всех распределений на является непрерывным двойственным пространством, которое, будучи наделённым сильной двойственной топологией, обозначается как . Важно отметить, что, если не указано иное, топология на является сильной двойственной топологией; если же топология является слабой * топологией, это будет указано. Ни одна из этих топологий не является метризуемой, однако, в отличие от слабой * топологии, сильная двойственная топология делает полным ядерным пространством, и это лишь одно из его желаемых свойств. Ни , ни его сильное двойственное пространство не являются последовательными пространствами, поэтому ни одна из их топологий не может быть полностью описана с помощью последовательностей (иными словами, определения лишь того, к чему сходятся последовательности в этих пространствах, недостаточно для полного и корректного определения их топологий). Последовательность в сходится в сильной двойственной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой * топологии (это приводит многих авторов к использованию поточечной сходимости для определения сходимости последовательности распределений; это допустимо для последовательностей, но не гарантируется, что это свойство распространяется на сходимость сетей распределений, поскольку сеть может сходиться поточечно, но не сходиться в сильной двойственной топологии). Более подробную информацию о топологии, наделяющей , можно найти в статье о пространствах тестовых функций и распределениях, а также в статьях о полярных топологиях и двойственных системах. Линейное отображение из в другое локально выпуклое топологическое векторное пространство (например, любое нормированное пространство) непрерывно тогда и только тогда, когда оно последовательно непрерывно в нуле. Однако это больше не гарантируется, если отображение не является линейным или если отображение принимает значения в более общих топологических пространствах (например, не являющихся также локально выпуклыми топологическими векторными пространствами). То же самое справедливо для отображений из (в более общем случае, это справедливо для отображений из любого локально выпуклого борнологического пространства).

Локализация распределения

Нет способа определить значение распределения в точке из U. Однако, подобно функциям, распределения на U ограничиваются до распределений на открытых подмножествах U. Более того, распределения определяются локально, в том смысле, что распределение на всем U можно восстановить по распределению на открытом покрытии U, удовлетворяющему определенным условиям согласования на пересечениях. Такая структура известна как пучок.

Склеивание и распределение, которые исчезают в наборе

Пусть V – открытое подмножество U. Говорят, что T исчезает в V, если для всех x из V выполняется T(x) = 0, то есть T обращается в нуль в V, если и только если ограничение T на V равно 0, или, эквивалентно, если и только если T принадлежит ядру отображения ограничения.

Глобальная структура распределений

Формальное определение распределений представляет их как подпространство очень большого пространства, а именно топологического дуала (или пространства Шварца для умеренных распределений). Из определения не очевидно, насколько необычным может быть распределение. Чтобы ответить на этот вопрос, полезно рассмотреть распределения, построенные на основе меньшего пространства, а именно пространства непрерывных функций. В общих чертах, любое распределение локально является (кратным) производным непрерывной функции. Более точная формулировка этого результата, представленная ниже, справедлива для распределений с компактным носителем, умеренных распределений и общих распределений. В общем случае, никакое собственное подмножество пространства распределений не содержит все непрерывные функции и не замкнуто относительно дифференцирования. Это означает, что распределения – не особенно экзотические объекты; они лишь настолько сложны, насколько это необходимо.

Распределения как суммы производных непрерывных функций

Объединив вышеперечисленные результаты, можно представить любое распределение на U как сумму ряда распределений с компактным носителем, где каждое из этих распределений, в свою очередь, может быть записано как конечная сумма обобщенных производных непрерывных функций на U. Иными словами, для произвольного T можно записать:

где – конечные множества мультииндексов, а функции непрерывны. Следует отметить, что бесконечная сумма выше корректно определена как распределение. Значение T для заданного можно вычислить, используя конечное число , пересекающих носитель .

Положительные меры по борьбе с радоном

Линейный функционал на пространстве функций называется положительным, если для любой функции, принадлежащей области определения, неотрицательной (то есть, вещественнозначной и ), значение функционала также неотрицательно. Можно показать, что любой положительный линейный функционал на обязательно непрерывен (то есть, является мерой Радона). Мера Лебега является примером положительной меры Радона.

Испытание функций как распределений

Тест-функции сами по себе локально интегрируемы и, следовательно, определяют распределения. Пространство тест-функций последовательно плотно в относительно сильной топологии. Это означает, что для любого элемента существует последовательность тест-функций, сходящаяся к нему (в его сильной двойственной топологии), если рассматривать их как последовательность распределений. Или, эквивалентно,

Темперные распределения и трансформация Фурье

Ниже определены темперированные распределения, которые образуют подпространство пространства обобщённых функций на ℝⁿ. Это собственное подпространство: каждое темперированное распределение является обобщённой функцией и элементом 𝒮, но обратное неверно. Темперированные распределения полезны при изучении преобразования Фурье, поскольку все темперированные распределения имеют преобразование Фурье, что не выполняется для произвольной обобщённой функции в 𝒟'.

Темперные распределения

Карта включения — это непрерывная инъекция, образ которой плотен в своей области значений, поэтому транспонирование также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ транспонированной карты, обозначаемый , образует пространство обобщенных функций (распределений). Пространство называется пространством умеренных (закаленных) распределений. Это непрерывное сопряженное пространство пространства Шварца. Эквивалентно, распределение является умеренным (закаленным) распределением тогда и только если

Производная умеренного (закаленного) распределения снова является умеренным (закаленным) распределением. Умеренные (закаленные) распределения обобщают ограниченные (или медленно растущие) локально интегрируемые функции; все распределения с компактным носителем и все функции, интегрируемые в квадрате, являются умеренными (закаленными) распределениями. В более общем случае, все функции, являющиеся произведениями многочленов и элементов пространства Lp для , являются умеренными (закаленными) распределениями. Умеренные (закаленные) распределения также можно характеризовать как медленно растущие, то есть каждая производная растет не быстрее, чем некоторая полиномиальная функция. Эта характеристика двойственна быстро убывающему поведению производных функции в пространстве Шварца, где каждая производная убывает быстрее, чем любая обратная степень от . Примером быстро убывающей функции является для любого положительного .

Использование голоморфных функций в качестве тестовых функций

Успех теории привел к исследованию идеи гиперфункций, в которых пространства голоморфных функций используются в качестве тестовых функций. Была разработана более развитая теория, в частности, алгебраический анализ Микио Сато, использующая теорию пучков и функции нескольких комплексных переменных. Это расширяет область применения символических методов, которые можно обосновать с математической строгостью, например, интегралы Фейнмана.