Введение

Дифференциальный оператор – математический оператор, действующий на скалярные поля.

В математике оператор Лапласа, или лапласиан, – это дифференциальный оператор, определяемый как дивергенция градиента скалярной функции в евклидовом пространстве. Обычно он обозначается символами ∇², Δ (где ∇ – оператор набла) или div grad. В декартовой системе координат лапласиан выражается как сумма вторых частных производных функции по каждой независимой переменной. В других системах координат, таких как цилиндрическая и сферическая, лапласиан также имеет удобное выражение. Неформально, лапласиан Δf(p) функции f в точке p измеряет, насколько среднее значение f по малым сферам или шарам с центром в p отклоняется от f(p). Оператор Лапласа назван в честь французского математика Пьера Симона де Лапласа (1749–1827), который впервые применил его к изучению небесной механики: лапласиан гравитационного потенциала, обусловленного заданным распределением плотности массы, является постоянной, кратной этому распределению плотности. Решения уравнения Лапласа Δf = 0 называются гармоническими функциями и представляют собой возможные гравитационные потенциалы в областях вакуума. Лапласиан встречается во многих дифференциальных уравнениях, описывающих физические явления. Уравнение Пуассона описывает электрические и гравитационные потенциалы; уравнение диффузии – теплопроводность и течение жидкости; уравнение волны – распространение волн; а уравнение Шрёдингера – волновую функцию в квантовой механике. В обработке изображений и компьютерном зрении лапласиан используется для различных задач, таких как обнаружение областей и границ. Лапласиан является простейшим эллиптическим оператором и лежит в основе теории Ходжа, а также результатов когомологии де Рама.

Обобщения

Лапласиан может быть определен везде, где имеет смысл функционал энергии Дирихле, что является теорией форм Дирихле. Для пространств с дополнительной структурой можно дать более явные описания лапласиана, как показано ниже.