Введение

Дифференциальное исчисление на функциональных пространствах

Вариационное исчисление (или исчисление вариаций) — это область математического анализа, использующая вариации, то есть малые изменения функций и функционалов, для нахождения максимумов и минимумов функционалов: отображений из множества функций в вещественные числа. Функционалы часто выражаются в виде определенных интегралов, включающих функции и их производные. Функции, максимизирующие или минимизирующие функционалы, можно найти с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа вариационного исчисления. Простой пример такой задачи — нахождение кривой наименьшей длины, соединяющей две точки. Если ограничений нет, решением является прямая линия между точками. Однако, если кривая ограничена лежать на поверхности в пространстве, решение менее очевидно, и возможно существование множества решений. Такие решения известны как геодезические. Связанная задача формулируется принципом Ферма: свет распространяется по пути наименьшей оптической длины, соединяющему две точки, который зависит от материала среды. Соответствующим понятием в механике является принцип наименьшего/стационарного действия. Многие важные задачи связаны с функциями нескольких переменных. Решения краевых задач для уравнения Лапласа удовлетворяют принципу Дирихле. Задача Плато требует нахождения поверхности минимальной площади, охватывающей заданный контур в пространстве: решение часто можно найти, погрузив каркас в мыльную воду. Хотя такие эксперименты относительно просты в выполнении, их математическая формулировка далека от тривиальной: может существовать более одной локально минимизирующей поверхности, и они могут обладать нетривиальной топологией.

История

Можно сказать, что исчисление вариаций берет свое начало с проблемы минимального сопротивления, сформулированной Ньютоном в 1687 году, и проблемы брахистохроны, предложенной Иоганном Бернулли в 1696 году. Она сразу же привлекла внимание Якоба Бернулли и маркиза де л’Опиталя, но Леонард Эйлер первым систематически разработал эту область, начиная с 1733 года. Лагранж, вдохновленный работами Эйлера, внес значительный вклад в теорию. После ознакомления с работой 19-летнего Лагранжа в 1755 году, Эйлер отказался от своего частично геометрического подхода в пользу чисто аналитического подхода Лагранжа и в своей лекции 1756 года "Elementa Calculi Variationum" переименовал эту область в исчисление вариаций.

Личность Белтрами

В физических задачах может оказаться так, что интеграл берется по функциям от и , но сама переменная не входит в подынтегральное выражение явно. В этом случае уравнение Эйлера — Лагранжа можно упростить до тождества Белтрами:

где — константа. Левая часть — это преобразование Лежандра функции по переменной .

Интуитивное объяснение этого результата заключается в том, что если переменная действительно является временем, то условие означает, что лагранжиан не зависит от времени. Согласно теореме Нётер, этому соответствует сохраняющаяся величина. В данном случае, это величина — гамильтониан, преобразование Лежандра лагранжиана, которое (часто) совпадает с энергией системы. Эта величина равна (с противоположным знаком) константе в тождестве Белтрами.

Теорема Дю-Буа-Реймонда

До сих пор обсуждение исходило из предположения, что экстремальные функции обладают двумя непрерывными производными, хотя существование интеграла требует лишь первых производных пробных функций. Условие, что первая вариация обращается в нуль в экстремуме, можно рассматривать как слабую форму уравнения Эйлера — Лагранжа. Теорема Дю-Буа Реймона утверждает, что эта слабая форма влечет за собой сильную форму. Если функция имеет непрерывные первые и вторые производные по всем своим аргументам, и если

тогда функция имеет две непрерывные производные и удовлетворяет уравнению Эйлера — Лагранжа.

Феномен Лаврентьева

Гильберт первым сформулировал достаточное условие для существования стационарного решения уравнений Эйлера — Лагранжа. В выпуклой области при положительном трижды дифференцируемом лагранжиане решения состоят из счетного множества участков, которые либо лежат на границе, либо удовлетворяют уравнениям Эйлера — Лагранжа во внутренней области. Однако Лаврентьев в 1926 году показал, что существуют случаи, когда оптимального решения не существует, но к нему можно сколь угодно близко подойти, увеличивая число участков. Феномен Лаврентьева заключается в различии инфимума задачи минимизации для различных классов допустимых функций. Например, рассмотрим следующую задачу, предложенную Маниа в 1934 году:

Очевидно, минимизирует функционал, но любая функция дает значение, ограниченное снизу от инфимума. Примеры (в одномерном случае) традиционно демонстрируются через и , но Болл и Мизель нашли первый функционал, проявляющий феномен Лаврентьева для и при . Существует ряд результатов, предоставляющих критерии, при которых этот феномен не возникает – например, «стандартный рост», лагранжиан, не зависящий от второй переменной, или аппроксимирующая последовательность, удовлетворяющая условию Чезари (D). Однако эти результаты часто носят частный характер и применимы к узкому классу функционалов. С феноменом Лаврентьева связано свойство отталкивания: любой функционал, демонстрирующий феномен Лаврентьева, также демонстрирует слабое свойство отталкивания.

Проблемы собственной стоимости

Как одномерные, так и многомерные задачи на собственные значения могут быть сформулированы как вариационные задачи.

Закон Снелла

Существует разрыв показателя преломления при входе или выходе света из линзы. Пусть

где и – константы. Тогда уравнение Эйлера — Лагранжа выполняется как и прежде в области, где или , и фактически путь там является прямой линией, поскольку показатель преломления постоянен. На границе показателя преломления должно быть непрерывно, но может быть разрывным. После интегрирования по частям в отдельных областях и с использованием уравнений Эйлера — Лагранжа, первая вариация принимает вид

Фактор, умножающий , является синусом угла падения луча относительно оси , а фактор, умножающий , является синусом угла преломления луча относительно оси . Закон Снеллиуса о преломлении требует, чтобы эти члены были равны. Как показывает данный расчет, закон Снеллиуса эквивалентен обращению в ноль первой вариации длины оптического пути.