Complex reflection group

Введение

Концепция в математике В математике комплексная отраженная группа - это конечная группа, действующая на конечном размерном комплексном векторном пространстве, которое генерируется комплексными отражениями: нетривиальными элементами, которые фиксируют сложную гиперплоскость в точке. Сложные отраженные группы возникают при изучении инвариантной теории многочленных колец. В середине 20-го века они были полностью классифицированы в работе Шепарда и Тодда. Особые случаи включают симметричную группу пермутаций, диэдрические группы и, в более общем смысле, все конечные реальные отраженные группы (группы Коксетера или группы Вейла, включая группы симметрии регулярных полиедров).

Определение

(Комплексное) отражение r (иногда также называемое псевдо-отражением или унитарным отражением) конечного пространства V является элементом конечного порядка, который фиксирует комплексную гиперплоскость точечно, то есть фиксированное пространство имеет кодименсию 1. (Конечная) комплексная группа отражения - это конечная подгруппа того, что генерируется отражениями.

Классификация

Любая сложная группа отражения является произведением необратимых сложных групп отражения, действующих на сумму соответствующих векторных пространств. Таким образом, достаточно классифицировать необратимые сложные отраженные группы. Они доказали, что каждый нередуцируемый относится к бесконечному семейству G ((m, p, n) в зависимости от 3 положительных целых параметров (с p делением m) или является одним из 34 исключительных случаев, которые они пронумеровали от 4 до 37. Группа G{m, 1, n) является обобщенной симметричной группой; эквивалентно, она является венковым произведением симметричной группы Sym{n) на циклическую группу порядка m. Как матричная группа, ее элементы могут быть реализованы как мономиальные матрицы, чьи ненулевые элементы являются м-тыми корнями единства. Группа G ((m, p, n) является подгруппой индекса p группы G ((m, 1, n). G (m, p, n) имеет порядок mnn!/p. В качестве матрицы она может быть реализована как подмножество, в котором произведение нулевых записей является (m/p) -м корнем единства (а не просто м-м корнем). Алгебраически, G ((m, p, n) является полупрямым произведением абелевой группы порядка mn/p на симметричную группу Sym ((n); элементы абелевой группы имеют форму (θa1, θa2, , θan), где θ является примитивным м-м корнем единства и Σai 0 mod p, а Sym ((n) действует путем пермутации координат. Группа G{m,p,n) действует на Cn необратимо, за исключением случаев, когда m = 1, n > 1 (симметричная группа) и G{2,2,2) (группа четырех Кляйна). В этих случаях Cn делится как сумма необратимых представлений измерений 1 и n - 1.

Коксетерские группы

Когда m = 2, представление, описанное в предыдущем разделе, состоит из матриц с реальными входами, и, следовательно, в этих случаях G ((m,p,n) является конечной группой Коксетера. В частности: G ((1, 1, n) имеет тип An−1 = [3,3, ,3,3] = ; симметричная группа порядка n! G ((2, 1, n) имеет тип Bn = [3,3, ,3,4] = ; гипероктаэдрическая группа порядка 2nn! G ((2, 2, n) имеет тип Dn = [3,3, ,31,1] = , порядка 2nn!/2. Кроме того, когда m = p и n = 2, группа G ((p, p, 2) является диэдрической группой порядка 2p; как группа Коксетера, тип I2 ((p) = [p] = (и группа Вейла G2 когда p = 6).

Другие особые случаи и совпадения

Единственные случаи, когда две группы G ((m, p, n) изморфны как комплексные группы отражения, это G ((ma, pa, 1) изморфны G ((mb, pb, 1) для любых положительных целых чисел a, b (и оба изморфны для циклической группы порядка m/p). Однако есть и другие случаи, когда две такие группы изоморфны как абстрактные группы. Группы G(3, 3, 2) и G(1, 1, 3) изоморфны симметричной группе Sym(3). Группы G(2, 2, 3) и G(1, 1, 4) изоморфны симметричной группе Sym(4). И G ((2, 1, 2) и G ((4, 4, 2) изоморфны диэдрической группе порядка 8. И группы G{\displaystyle G} 2p, p, 1) являются циклическими порядка 2, как и G{\displaystyle G} 1, 1, 2).

Список неразлагаемых комплексных групп отражения

В первых трех строках этого списка есть несколько дубликатов; подробности см. в предыдущем разделе. ST - число Шепарда-Тодда отражающей группы. Ранг - это размерность сложного векторного пространства, на котором действует группа. Структура описывает структуру группы. Символ * обозначает центральное произведение двух групп. Для ранга 2 коэффициент по (циклическому) центру - это группа вращений тетраэдра, октаэдра или икосаэдра (T = Alt(4), O = Sym(4), I = Alt(5), порядков 12, 24, 60), как указано в таблице. Для обозначения 21+4, см. Особая группа. Порядок - это количество элементов группы. Отражения описывает количество отражений: 26412 означает, что есть 6 отражений порядка 2 и 12 порядка 4. Степень дает степень фундаментальных инвариантов кольца полиномиальных инвариантов. Например, инварианты группы 4 образуют многочленное кольцо с двумя генераторами 4 и 6 степеней. ST Структура ранга и именаИмена КоктераПорядокОтраженияСтепени Кодоградусы 1 n−1 Симметричная группа G(1,1,n) = Sym(n) n! 2n (n − 1) / 2 2, 3, ,n 0,1, ,n − 2 2 n G (m,p,n) m > 1, n > 1, p (p (G) 2,2,2) является редуцируемым) mnn!/p 2mn (n−1) /2,dnφ (d) (d) p, d > 1) m,2m, ,n − 1) m; mn/p 0,m, , (n − 1) m если p < m; 0,m, ,n − 2) m, (n − 1) m − n если p = m 2 2 G (p,1,2) p > 1, p2[4] или 2p2 2p,d2φ (dp,d) > 1) p; 2p 0,p 2 Dihedral группа G (p,d) p2) p > 2p [ 2p 2, 2p 0,p 2 3 Cyclic группа 1 G (p,d) p1, Z (p,d) p1) или Z (p,d) p 2 2 2p 0,p 2 2 2 1 Cyclic группа 1 G (p,d) p1, Z (p,d) p1 p) или Z (p,d) p 2, d) d) d) d) d) d) 2 T 3[3]3 или , 2,3,3 24 38 4,6 0,2 5 2 Z6. T 3[4]3 или 72 316 6,12 0,6 6 2 Z4. T 3[6]2 или 48 2638 4,12 0,8 7 2 Z12. T ‹3,3,3›2 или 2,3,36 144 26316 12,12 0,12 8 2 Z4. О 4[3]4 или 96 26412 8,12 0,4 9 2 Z8. О 4[6]2 или или 2,3,44 192 218412 8,24 0,16 10 2 Z12. O 4[4]3 или 288 26316412 12,24 0,12 11 2 Z24. О 2,3,412 576 218316412 24,24 0,24 12 2 Z2. O= GL2(F3) 2,3,4 48 212 6,8 0,10 13 2 Z4. О 2,3,42 96 218 8,12 0,16 14 2 Z6. O 3[8]2 или 144 212316 6,24 0,18 15 2 Z12. О2,3,46 288 218316 12,24 0,24 16 2 Z10. I, 2,3,5×Z5 5[3]5 или 600 548 20,30 0,10 17 2 Z20. I 5[6]2 или 1200 230548 20,60 0,40 18 2 Z30. I 5[4]3 или 1800 340548 30,60 0,30 19 2 Z60. I 2,3,530 3600 230340548 60,60 0,60 20 2 Z6. I 3[5]3 или 360 340 12,30 0,18 21 2 Z12. I 3[10]2 или 720 230340 12,60 0,48 22 2 Z4. I 2,3,52 240 230 12,20 0,28 23 3 В (H3) = Z2 × PSL2 (R) [5,3], 120 215 2,6,10 0,4,8 24 3 В (J3 (R) 4) = Z2 × PSL2 (R), Klein[1 1 14]4, 336 221 4,6,14 0,8,10 25 3 В (R) = W (R) = 31+2. SL2 ((3) Hessian 3[3]3[3]3, 648 324 6,9,12 0,3,6 26 3 W ((M3) =Z2 ×31+2. SL2 ((3) Hessian2[4]3[3]3, 1296 29 324 6,12,18 0,6,12 27 3 W ((J3 ((5)) = Z2 × ((Z3). Alt(6)), Valentiner[1 1 15]4, [1 1 14]5, 2160 245 6,12,30 0,18,24 28 4 W(F4) = (SL2(3) * SL2(3)). (Z2 × Z2) [3,4,3], 1152 212+12 2,6,8,12 0,4,6,10 29 4 W(N4) = (Z4*21 + 4). Sym ((5) [1 1 2]4, 7680 240 4,8,12,20 0,8,12,16 30 4 W ((H4) = (SL2 ((5) *SL2 ((5)). Z2 [5,3,3], 14400 260 2,12,20,30 0,10,18,28 31 4 W(EN4) = W(O4) = (Z4*21 + 4). Sp4 ((2) 46080 260 8,12,20,24 0,12,16,28 32 4 W ((L4) = Z3 × Sp4 ((3) 3[3]3[3]3[3]3, 155520 380 12,18,24,30 0,6,12,18 33 5 W ((K5) = Z2 ×Ω5 ((3) = Z2 × PSp4 ((3) = Z2 × PSU4 ((2) [1 2 2]3, 51840 245 4,6,10,12,18 0,6,8,12,14 34 6 W ((K6) = Z3.(Ω3). Z2, группа Митчелла[1 2 3]3, 39191040 2126 6,12,18,24,30,42 0,12,18,24,30,36 35 6 W(E6) = SO5(3) = O(2) = PSp4(3). Z2 = PSU4 ((2). Z2[32,2,1], 51840 236 2,5,6,8,9,12 0,3,4,6,7,10 36 7 W(E7) = Z2 ×Sp6(2)[33,2,1], 2903040 263 2,6,8,10,12,14,18 0,4,6,8,10,12,16 37 8 W(E8) = Z2. O(2)[34,2,1], 696729600 2120 2,8,12,14,18,20,24,30 0,6,10,12,16,18,22,28 Для получения дополнительной информации, включая диаграммы, презентации и кодегреи сложных групп отражения, см. таблицы в .

There are a few duplicates in the first 3 lines of this list; see the previous section for details. ST is the Shephard–Todd number of the reflection group. Rank is the dimension of the complex vector space the group acts on. Structure describes the structure of the group. The symbol * stands for a central product of two groups. For rank 2, the quotient by the (cyclic) center is the group of rotations of a tetrahedron, octahedron, or icosahedron (T = Alt(4), O = Sym(4), I = Alt(5), of orders 12, 24, 60), as stated in the table. For the notation 21+4, see extra special group. Order is the number of elements of the group. Reflections describes the number of reflections: 26412 means that there are 6 reflections of order 2 and 12 of order 4. Degrees gives the degrees of the fundamental invariants of the ring of polynomial invariants. For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. ST Rank Structure and namesCoxeter namesOrder Reflections Degrees Codegrees 1 n−1 Symmetric group G(1,1,n) = Sym(n) n! 2n(n − 1)/2 2, 3, ,n 0,1, ,n − 2 2 n G(m,p,n) m > 1, n > 1, p|m (G(2,2,2) is reducible) mnn!/p 2mn(n−1)/2,dnφ(d) (d|m/p, d > 1) m,2m, ,(n − 1)m; mn/p 0,m, , (n − 1)m if p < m; 0,m, ,(n − 2)m, (n − 1)m − n if p = m 2 2 G(p,1,2) p > 1, p[4]2 or 2p2 2p,d2φ(d) (d|p, d > 1) p; 2p 0,p 2 2 Dihedral group G(p,p,2) p > 2 [p] or 2p 2p 2,p 0,p 2 3 1 Cyclic group G(p,1,1) = Zp p[] or p dφ(d) (d|p, d > 1) p 0 4 2 W(L2), Z2. T 3[3]3 or , ⟨2,3,3⟩ 24 38 4,6 0,2 5 2 Z6. T 3[4]3 or 72 316 6,12 0,6 6 2 Z4. T 3[6]2 or 48 2638 4,12 0,8 7 2 Z12. T ‹3,3,3›2 or ⟨2,3,3⟩6 144 26316 12,12 0,12 8 2 Z4. O 4[3]4 or 96 26412 8,12 0,4 9 2 Z8. O 4[6]2 or or ⟨2,3,4⟩4 192 218412 8,24 0,16 10 2 Z12. O 4[4]3 or 288 26316412 12,24 0,12 11 2 Z24. O ⟨2,3,4⟩12 576 218316412 24,24 0,24 12 2 Z2. O= GL2(F3) ⟨2,3,4⟩ 48 212 6,8 0,10 13 2 Z4. O ⟨2,3,4⟩2 96 218 8,12 0,16 14 2 Z6. O 3[8]2 or 144 212316 6,24 0,18 15 2 Z12. O⟨2,3,4⟩6 288 218316 12,24 0,24 16 2 Z10. I, ⟨2,3,5⟩×Z5 5[3]5 or 600 548 20,30 0,10 17 2 Z20. I 5[6]2 or 1200 230548 20,60 0,40 18 2 Z30. I 5[4]3 or 1800 340548 30,60 0,30 19 2 Z60. I ⟨2,3,5⟩30 3600 230340548 60,60 0,60 20 2 Z6. I 3[5]3 or 360 340 12,30 0,18 21 2 Z12. I 3[10]2 or 720 230340 12,60 0,48 22 2 Z4. I ⟨2,3,5⟩2 240 230 12,20 0,28 23 3 W(H3) = Z2 × PSL2(5) [5,3], 120 215 2,6,10 0,4,8 24 3 W(J3(4)) = Z2 × PSL2(7), Klein[1 1 14]4, 336 221 4,6,14 0,8,10 25 3 W(L3) = W(P3) = 31+2. SL2(3) Hessian 3[3]3[3]3, 648 324 6,9,12 0,3,6 26 3 W(M3) =Z2 ×31+2. SL2(3) Hessian2[4]3[3]3, 1296 29 324 6,12,18 0,6,12 27 3 W(J3(5)) = Z2 ×(Z3. Alt(6)), Valentiner[1 1 15]4, [1 1 14]5, 2160 245 6,12,30 0,18,24 28 4 W(F4) = (SL2(3)* SL2(3)). (Z2 × Z2) [3,4,3], 1152 212+12 2,6,8,12 0,4,6,10 29 4 W(N4) = (Z4*21 + 4). Sym(5)[1 1 2]4, 7680 240 4,8,12,20 0,8,12,16 30 4 W(H4) = (SL2(5)*SL2(5)). Z2 [5,3,3], 14400 260 2,12,20,30 0,10,18,28 31 4 W(EN4) = W(O4) = (Z4*21 + 4). Sp4(2) 46080 260 8,12,20,24 0,12,16,28 32 4 W(L4) = Z3 × Sp4(3)3[3]3[3]3[3]3, 155520 380 12,18,24,30 0,6,12,18 33 5 W(K5) = Z2 ×Ω5(3) = Z2 × PSp4(3)= Z2 × PSU4(2)[1 2 2]3, 51840 245 4,6,10,12,18 0,6,8,12,14 34 6 W(K6)= Z3.Ω(3). Z2, Mitchell's group[1 2 3]3, 39191040 2126 6,12,18,24,30,42 0,12,18,24,30,36 35 6 W(E6) = SO5(3) = O(2) = PSp4(3). Z2 = PSU4(2). Z2[32,2,1], 51840 236 2,5,6,8,9,12 0,3,4,6,7,10 36 7 W(E7) = Z2 ×Sp6(2)[33,2,1], 2903040 263 2,6,8,10,12,14,18 0,4,6,8,10,12,16 37 8 W(E8)= Z2. O(2)[34,2,1], 696729600 2120 2,8,12,14,18,20,24,30 0,6,10,12,16,18,22,28

For more information, including diagrams, presentations, and codegrees of complex reflection groups, see the tables in .

Хорошо сгенерированные комплексные группы отражения

По определению, каждая сложная группа отражения генерируется своими отражениями. Однако множество отражений не является минимальным генерирующим множеством, и каждая нередуцируемая комплексная группа отражений ранга n имеет минимальное генерирующее множество, состоящее либо из n, либо из n + 1 отражений. В первом случае группа считается хорошо сгенерированной. Так, например, из классификации можно вычислить, что группа G ((m, p, n) хорошо генерируется, если и только если p = 1 или m. Для неснижаемых хорошо генерируемых сложных отраженных групп число Коктера h, определенное выше, равно самой большой степени, редуктивная сложная отраженная группа считается хорошо генерируемой, если она является продуктом неснижаемых хорошо генерируемых сложных отраженных групп. Каждая конечная реальная группа отражения хорошо генерируется.