Введение
Основной результат в геометрии В Евклидовом пространстве сумма углов треугольника равна прямому углу (180 градусов, радиан, два прямого угла или полповорота). У треугольника три угла, по одному на каждой вершине, ограниченные парой смежных сторон. Долгое время было неизвестно, существуют ли другие геометрии, для которых эта сумма отличается. Влияние этой проблемы на математику было особенно сильным в течение 19-го века. В конечном счете, ответ оказался положительным: в других пространствах (геометрии) эта сумма может быть больше или меньше, но она должна зависеть от треугольника. Его разница от 180° является случаем углового дефекта и служит важным отличием для геометрических систем.
In a Euclidean space, the sum of angles of a triangle equals the straight angle (180 degrees, radians, two right angles, or a half turn). A triangle has three angles, one at each vertex, bounded by a pair of adjacent sides. It was unknown for a long time whether other geometries exist, for which this sum is different. The influence of this problem on mathematics was particularly strong during the 19th century. Ultimately, the answer was proven to be positive: in other spaces (geometries) this sum can be greater or lesser, but it then must depend on the triangle. Its difference from 180° is a case of angular defect and serves as an important distinction for geometric systems.
Евклидова геометрия
В Евклидовой геометрии постулат треугольника гласит, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Этот постулат эквивалентен параллельному постулату. При наличии других аксиом Евклидовой геометрии, следующие утверждения эквивалентны: Постулат треугольника: Сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Аксиома Плейфэра: При наличии прямой и точки, не находящейся на линии, через точку, параллельную данной прямой, может быть проведена ровно одна прямая. Аксиома Прокласа: Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, она должна пересекать и другую. Постулат равнорасстояния: параллельные линии везде равнорасстоятельны (т.е. расстояние от каждой точки на одной прямой к другой прямой всегда одинаково). Свойство площади треугольника: площадь треугольника может быть такой большой, как нам угодно. Свойство трех точек: три точки либо лежат на прямой, либо лежат на круге. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Можно легко увидеть, как гиперболическая геометрия нарушает аксиому Плейфэра, аксиому Прокла (параллелизм, определяемый как непересечение, нетранзивен в гиперболической плоскости), постулат равнорасстояния (точки на одной стороне и равнорасстояния от данной прямой не образуют прямой) и теорему Пифагора. Круг не может иметь произвольно небольшую кривизну, поэтому свойство трех точек также не работает. Сумма углов может быть произвольно маленькой (но положительной). Для идеального треугольника, обобщения гиперболических треугольников, эта сумма равна нулю.
Triangle postulate: The sum of the angles of a triangle is two right angles. Playfair's axiom: Given a straight line and a point not on the line, exactly one straight line may be drawn through the point parallel to the given line. Proclus' axiom: If a line intersects one of two parallel lines, it must intersect the other also. Equidistance postulate: Parallel lines are everywhere equidistant (i. e. the distance from each point on one line to the other line is always the same.) Triangle area property: The area of a triangle can be as large as we please. Three points property: Three points either lie on a line or lie on a circle. Pythagoras' theorem: In a right angled triangle, the square of the hypotenuse equals the sum of the squares of the other two sides. One can easily see how hyperbolic geometry breaks Playfair's axiom, Proclus' axiom (the parallelism, defined as non intersection, is intransitive in an hyperbolic plane), the equidistance postulate (the points on one side of, and equidistant from, a given line do not form a line), and Pythagoras' theorem. A circle cannot have arbitrarily small curvature, so the three points property also fails. The sum of the angles can be arbitrarily small (but positive). For an ideal triangle, a generalization of hyperbolic triangles, this sum is equal to zero.
Внешние углы
Угол между смежными сторонами треугольника называется внутренним углом в Евклидовой и других геометриях. Внешние углы также могут быть определены, и постулат Евклида о треугольнике может быть сформулирован как теорема внешнего угла. Можно также рассмотреть сумму всех трех внешних углов, которая равна 360° в евклидовом случае (как и для любого выпуклого многоугольника), меньше 360° в сферическом случае и больше 360° в гиперболическом случае.
В дифференциальной геометрии
В дифференциальной геометрии поверхностей вопрос о угловом дефекте треугольника понимается как особый случай теоремы Гаусса Боне, где кривизна закрытой кривой является не функцией, а мерой с опорой в точно трех точках вершины треугольника.