Введение
В математике, в частности в функциональном анализе и нелинейном анализе, можно определить производную функции между двумя пространствами Фреше. Это понятие дифференциации, поскольку это производная Гато между пространствами Фреше, значительно слабее, чем производная в пространстве Банаха, даже между общими топологическими векторными пространствами. Тем не менее, это самое слабое понятие дифференциации, для которого многие из известных теорем из исчисления. В частности, правило цепи верно. С некоторыми дополнительными ограничениями на пространства Фреше и связанные с ними функции, существует аналог теоремы обратной функции, называемой теоремой обратной функции Нэш-Мозера, имеющая широкие применения в нелинейном анализе и дифференциальной геометрии.
Свойства
Пусть и будет Фреше пространства. Предположим, что это открытое подмножество и являются парой функций. Тогда следующие свойства имеют значение: Фундаментальная теорема исчисления. Если отрезки от до лежат полностью внутри, то правило цепи. "Для всех" и "Линейность". Если в более общем случае это линейная, то в "s" это многолинейная. Теорема Тейлора с остатком. Предположим, что отрезк между и лежит полностью внутри If, тогда где остаток термина дается Коммутативностью направленных производных. Если тогда для каждой пермутации σ доказательства многих из этих свойств основываются на том факте, что можно определить интеграл Римана непрерывных кривых в пространстве Фреше.
Fundamental theorem of calculus. If the line segment from to lies entirely within then
The chain rule. For all and
Linearity. is linear in More generally, if is then is multilinear in the 's. Taylor's theorem with remainder. Suppose that the line segment between and lies entirely within If is then where the remainder term is given by
Commutativity of directional derivatives. If is then for every permutation σ of
The proofs of many of these properties rely fundamentally on the fact that it is possible to define the Riemann integral of continuous curves in a Fréchet space.
Плавное сопоставление
Удивительно, но соотношение между открытыми подмножествами пространств Фреше гладко (бесконечно часто дифференцируемо), если оно соотносит гладкие кривые с гладкими кривыми; см. Удобный анализ. Более того, гладкие кривые в пространствах гладких функций - это просто гладкие функции еще одной переменной.
Последствия в дифференциальной геометрии
Существование цепного правила позволяет определить многообразие, смоделированное по пространству Фреше: многообразие Фреше. Кроме того, линейность производной предполагает, что существует аналог тангентного пучка для коллекторов Фреше.
Укрощенные пространства Фреше
Часто пространства Фреше, возникающие в практических приложениях производных, обладают дополнительным свойством: они приручены. Грубо говоря, прирученное пространство Фреше - это пространство, которое почти равно пространству Банаха. На прирученных пространствах можно определить предпочтительный класс отображений, известный как прирученные карты. В категории прирученных пространств под прирученными картами лежащая в основе топология достаточно сильна, чтобы поддержать полноценную теорию дифференциальной топологии. В этом контексте, многие другие методы из исчисления держать. В частности, существуют версии теорем обратной и имплицитной функций.