Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Квази-эмпиризм в математике – это направление в философии математики, стремящееся переключить внимание философов с вопросов основ математики на математическую практику, в особенности на её связь с физикой, социальными науками и вычислительной математикой. В рамках этого подхода обсуждаются такие темы, как взаимосвязь эмпиризма (см. работы Пенелопы Мэдди) и математики, проблемы, связанные с реализмом, роль культуры и необходимость применения математики.
Quasi empiricism in mathematics is the attempt in the philosophy of mathematics to direct philosophers' attention to mathematical practice, in particular, relations with physics, social sciences, and computational mathematics, rather than solely to issues in the foundations of mathematics. Of concern to this discussion are several topics: the relationship of empiricism (see Penelope Maddy) with mathematics, issues related to realism, the importance of culture, necessity of application, etc.
Основные аргументы
Основным аргументом в отношении квази-эмпиризма является то, что, хотя математика и физика часто рассматриваются как тесно связанные области исследования, это может отражать когнитивные предубеждения человека. Утверждается, что даже при строгом применении соответствующих эмпирических методов или математической практики в любой из этих областей, этого все равно будет недостаточно для опровержения альтернативных подходов. Юджин Вигнер (1960) отметил, что эта особенность не должна ограничиваться математикой, физикой или даже людьми. Он далее заявил: «Чудо соответствия языка математики для формулирования законов физики – это удивительный дар, который мы ни понять, ни заслужить не можем. Мы должны быть благодарны за него и надеяться, что он останется справедливым в будущих исследованиях и распространится, к лучшему или к худшему, к нашему удовольствию, хотя, возможно, и к нашему недоумению, на широкие области знания». Вигнер привел несколько примеров, чтобы продемонстрировать, почему «недоумение» является уместным описанием, например, показывая, как математика расширяет ситуативное знание способами, которые либо невозможны иным путем, либо настолько выходят за рамки обычного мышления, что остаются незамеченными. Другим примером может служить способность к предсказанию, в смысле описания потенциальных явлений до их наблюдения, которую поддерживает математическая система. Продолжая работу Вигнера, Ричард Хамминг (1980) писал о применении математики как о центральной теме и предположил, что успешное использование иногда может быть важнее доказательства, в следующем смысле: если теорема обладает очевидной истинностью благодаря своей применимости, то последующие доказательства, показывающие проблематичность доказательства теоремы, скорее приведут к попыткам укрепить саму теорему, чем к пересмотру приложений или отрицанию полученных результатов. Хамминг предложил четыре объяснения «эффективности» математики и считал эту тему достойной обсуждения и изучения. «Мы видим то, что ищем». Именно поэтому термин «квази» уместен в данном контексте. «Мы выбираем, какую математику использовать». Наше использование и модификация математики по сути ситуативны и ориентированы на достижение целей. «Наука на самом деле отвечает на сравнительно небольшое количество проблем». Необходимо рассмотреть более широкий круг вопросов. «Эволюция человека предоставила модель». Возможно, существуют ограничения, обусловленные человеческим фактором. Для Вилларда Ван Ормана Куайна (1960) существование возможно только в структуре. Эта позиция актуальна для квази-эмпиризма, поскольку Куайн полагает, что одни и те же доказательства подтверждают как теоретизирование о структуре мира, так и теоретизирование о математических структурах. Хилари Путнам (1975) утверждал, что математика принимала неформальные доказательства и доказательства, основанные на авторитете, и допускала ошибки на протяжении всей своей истории, исправляя их. Он также отметил, что система доказательства геометрических теорем Евклида была уникальна для классических греков и не развивалась аналогичным образом в других математических культурах Китая, Индии и Аравии. Эти и другие доказательства побудили многих математиков отказаться от ярлыка «платонистов», а также от онтологии Платона, которая вместе с методами и эпистемологией Аристотеля служила основой онтологии западного мира с самого начала. Подлинно международная культура математики, как утверждали Путнам и другие (1983), неизбежно должна быть по крайней мере «квази» эмпирической (признавая «научный метод» для достижения консенсуса, если не эксперимента). Имре Лакатос (1976), который провел свою первоначальную работу по этой теме в своей диссертации (1961, Кембридж), выступал за «исследовательские программы» как основу для математики и считал мысленные эксперименты уместными для математических открытий. Лакатос, возможно, был первым, кто использовал термин «квази-эмпиризм» в контексте этой темы.
A primary argument with respect to quasi empiricism is that whilst mathematics and physics are frequently considered to be closely linked fields of study, this may reflect human cognitive bias. It is claimed that, despite rigorous application of appropriate empirical methods or mathematical practice in either field, this would nonetheless be insufficient to disprove alternate approaches. Eugene Wigner (1960) noted that this culture need not be restricted to mathematics, physics, or even humans. He stated further that "The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research and that it will extend, for better or for worse, to our pleasure, even though perhaps also to our bafflement, to wide branches of learning." Wigner used several examples to demonstrate why 'bafflement' is an appropriate description, such as showing how mathematics adds to situational knowledge in ways that are either not possible otherwise or are so outside normal thought to be of little notice. The predictive ability, in the sense of describing potential phenomena prior to observation of such, which can be supported by a mathematical system would be another example. Following up on Wigner, Richard Hamming (1980) wrote about applications of mathematics as a central theme to this topic and suggested that successful use can sometimes trump proof, in the following sense: where a theorem has evident veracity through applicability, later evidence that shows the theorem's proof to be problematic would result more in trying to firm up the theorem rather than in trying to redo the applications or to deny results obtained to date. Hamming had four explanations for the 'effectiveness' that we see with mathematics and definitely saw this topic as worthy of discussion and study. "We see what we look for." Why 'quasi' is apropos in reference to this discussion. "We select the kind of mathematics to use." Our use and modification of mathematics are essentially situational and goal driven. "Science in fact answers comparatively few problems." What still needs to be looked at is a larger set. "The evolution of man provided the model." There may be limits attributable to the human element. For Willard Van Orman Quine (1960), existence is only existence in a structure. This position is relevant to quasi empiricism because Quine believes that the same evidence that supports theorizing about the structure of the world is the same as the evidence supporting theorizing about mathematical structures. Hilary Putnam (1975) stated that mathematics had accepted informal proofs and proof by authority, and had made and corrected errors all through its history. Also, he stated that Euclid's system of proving geometry theorems was unique to the classical Greeks and did not evolve similarly in other mathematical cultures in China, India, and Arabia. This and other evidence led many mathematicians to reject the label of Platonists, along with Plato's ontology which, along with the methods and epistemology of Aristotle, had served as a foundation ontology for the Western world since its beginnings. A truly international culture of mathematics would, Putnam and others (1983) argued, necessarily be at least 'quasi' empirical (embracing 'the scientific method' for consensus if not experiment). Imre Lakatos (1976), who did his original work on this topic for his dissertation (1961, Cambridge), argued for 'research programs' as a means to support a basis for mathematics and considered thought experiments as appropriate to mathematical discovery. Lakatos may have been the first to use 'quasi empiricism' in the context of this subject.
Операционные аспекты
Несколько недавних работ посвящены этой теме. Применимы работы Грегори Чейтина и Стивена Вольфрама, хотя их позиции могут считаться спорными. Чейтин (1997/2003) предполагает наличие фундаментальной случайности в математике, а Вольфрам (A New Kind of Science, 2002) утверждает, что неразрешимость может иметь практическое значение, то есть быть не просто абстракцией. Еще одним важным дополнением будут дискуссии об интерактивных вычислениях, особенно касающиеся смысла и использования модели Тьюринга (тезис Черча-Тьюринга, машины Тьюринга и т.д.). Эти работы носят ярко выраженный вычислительный характер и поднимают новый круг вопросов. Как цитирует Чейтин (1997/2003): «Теперь всё перевернулось с ног на голову. Это произошло не из-за каких-либо философских аргументов, не из-за результатов Гёделя или Тьюринга, или моих собственных теорем о неполноте. Всё перевернулось по очень простой причине – компьютер!». Это позволяет предположить, что интерактивные вычисления могут помочь математике сформировать более адекватную (эмпирическую) основу, чем та, что основана исключительно на рационализме. В связи с этим аргументом следует отметить, что функция (даже рекурсивно связанная бесконечно) является слишком простой конструкцией для описания реальности сущностей, которые разрешают (путем вычислений или аналоговых методов) n-мерные (в широком смысле этого слова) системы.
Several recent works pertain to this topic. Gregory Chaitin's and Stephen Wolfram's work, though their positions may be considered controversial, apply. Chaitin (1997/2003) suggests an underlying randomness to mathematics and Wolfram (A New Kind of Science, 2002) argues that undecidability may have practical relevance, that is, be more than an abstraction. Another relevant addition would be the discussions concerning interactive computation, especially those related to the meaning and use of Turing's model (Church Turing thesis, Turing machines, etc.). These works are heavily computational and raise another set of issues. To quote Chaitin (1997/2003): Quote|Now everything has gone topsy turvy. It's gone topsy turvy, not because of any philosophical argument, not because of Gödel's results or Turing's results or my own incompleteness results. It's gone topsy turvy for a very simple reason—the computer! suggests that interactive computation can help mathematics form a more appropriate framework (empirical) than can be founded with rationalism alone. Related to this argument is that the function (even recursively related ad infinitum) is too simple a construct to handle the reality of entities that resolve (via computation or some type of analog) n dimensional (general sense of the word) systems.