Введение
В теории категорий, отрасли математики, двойной объект является аналогом двойного векторного пространства из линейной алгебры для объектов в произвольных моноидальных категориях. Это лишь частичное обобщение, основанное на категорических свойствах дуальности для конечных размерных векторных пространств. Объект, допускающий двойственность, называется двойственным объектом. В этом формализме бесконечные размерные векторные пространства не являются дуализуемыми, поскольку двойное векторное пространство V не удовлетворяет аксиомам. Часто объект дуализуется только тогда, когда он удовлетворяет некоторому свойству конечности или компактности. Категория, в которой каждый объект имеет двойственность, называется автономной или жесткой. Категория конечных пространств векторных измерений со стандартным тензорным произведением является жесткой, в то время как категория всех векторных пространств - нет.
Примеры
Рассмотрим моноидальную категорию (VectK, K) векторных пространств над полем K со стандартным тензорным произведением. Пространство V дуализуемо, если и только если оно конечного измерения, и в этом случае двойной объект V совпадает со стандартным понятием двойного векторного пространства. Рассмотрим моноидальную категорию (ModR, R) модулей над коммутативным кольцом R со стандартным тензорным произведением. Модуль M дуализуется, если и только если он является конечным проективным модулем. В этом случае двойной объект M также дается модулем гомоморфизмов HomR ((M, R). Рассмотрим гомотопию категории заостренных спектров Ho ((Sp) с продуктом сбивания в качестве моноидной структуры. Если M - компактный соседний ретракт в (например, компактный гладкий коллектор), то соответствующий заостренный спектр Σ∞(M+) является дуализуемым. Это следствие дуальности SpanierWhitehead, которая подразумевает дуальность Поанкаре для компактных коллекторов.
Категории с двойными знаками
Моноидальную категорию, в которой каждый объект имеет левый (относительно правый) дуал, иногда называют левой (относительно правой) автономной категорией. Алгебраические геометры называют это левой (относительно правой) жесткой категорией. Моноидальная категория, в которой каждый объект имеет как левую, так и правую двойную категорию, называется автономной категорией. Автономная категория, которая также симметрична, называется компактной закрытой категорией.
Следы
Любой эндоморфизм f дуализуемого объекта допускает следы, которые являются определенными эндоморфизмами моноидальной единицы C. Это понятие включает в себя, как очень специальные случаи, следы в линейной алгебре и Эйлеровскую характеристику цепного комплекса.