Введение
проективная геометрия В проективной геометрии теорема пересечения или теорема о частоте возникновения - это утверждение относительно структуры частоты возникновения , состоящей из точек, линий и, возможно, более высокомерных объектов и их частот возникновения вместе с парой объектов A и B (например, точка и линия). "Теорема" гласит, что, когда набор объектов удовлетворяет инцидентам (т.е. может быть идентифицирован с объектами структуры инцидентности таким образом, чтобы инцидентность сохранялась), тогда объекты A и B также должны быть инцидентами. Теорема пересечения не обязательно верна во всех проективных геометриях; это свойство, которое удовлетворяет некоторым геометриям, но не удовлетворяет другим. Например, теорему Дезарге можно изложить с использованием следующей структуры инцидентности: Точки: Линии: Инциденции (в дополнение к очевидным, таким как ): Следовательно, точка R является инцидентной с линией .
In projective geometry, an intersection theorem or incidence theorem is a statement concerning an incidence structure – consisting of points, lines, and possibly higher dimensional objects and their incidences – together with a pair of objects A and B (for instance, a point and a line). The "theorem" states that, whenever a set of objects satisfies the incidences (i. e. can be identified with the objects of the incidence structure in such a way that incidence is preserved), then the objects A and B must also be incident. An intersection theorem is not necessarily true in all projective geometries; it is a property that some geometries satisfy but others don't. For example, Desargues' theorem can be stated using the following incidence structure:
Points:
Lines:
Incidences (in addition to obvious ones such as ):
The implication is then —that point R is incident with line .
Известные примеры
Теорема Десаргеса действует в проективной плоскости P, если и только если P является проективной плоскостью над каким-либо кольцом деления (сквоуфильдом) D Тогда проективная плоскость называется десаргезианской. Теорема Амитсура и Бергмана гласит, что в контексте десаргузианских проективных плоскостей для каждой теоремы пересечения существует рациональная тождественность, так что плоскость P удовлетворяет теореме пересечения, если и только если кольцо деления D удовлетворяет рациональной тождественности. Теорема Паппуса о шестиугольниках действует в десаргузианской проективной плоскости, если и только если D является полем; она соответствует тождеству аксиома Фано (которая гласит, что определенное пересечение не происходит) действует, если и только если D имеет характеристику; она соответствует тождеству 1=a + a = 0.