Введение

Представительство n векторов (также называемое геодезическим нормальным или эллипсоидом нормальным вектором) представляет собой трехпараметрическое не сингулярное представление, хорошо подходящее для замены геодезических координат (ширины и долготы) для представления горизонтального положения в математических вычислениях и компьютерных алгоритмах. Геометрически n вектор для данного положения на эллипсоиде является внешним направленным единичным вектором, который нормален в этом положении к эллипсоиду. Для представления горизонтальных положений на Земле эллипсоид является эталонным эллипсоидом, а вектор разлагается в системе фиксированных координат Земли с центром на Земле. Он гладко действует во всех земных положениях, и у него есть математическое свойство один к одному. Более обще, концепция может быть применена к представлению позиций на границе строго выпуклого ограниченного подмножества k-мерного евклидовой пространства, при условии, что эта граница является дифференцируемым многообразием. В этом общем случае n вектор состоит из k параметров.

Общие свойства

Нормальный вектор строго выпуклой поверхности может быть использован для однозначного определения положения поверхности. n вектор - это нормальный вектор, направленный наружу, с единицей длины, используемый в качестве позиционного представления. Для большинства приложений поверхность является эталонным эллипсоидом Земли, и таким образом n вектор используется для представления горизонтального положения. Таким образом, угол между n вектором и экваториальной плоскостью соответствует геодезической широте, как показано на рисунке. Положение поверхности имеет две степени свободы, и таким образом, двух параметров достаточно, чтобы представить любую позицию на поверхности. На эллипсоиде ширина и долгота являются общими параметрами для этой цели, но, как и все два параметра представления, они имеют сингулярность. Это похоже на ориентацию, которая имеет три степени свободы, но все три параметры имеют сингулярности. В обоих случаях сингулярности избегаются путем добавления дополнительного параметра, т. е. использования n вектора (три параметра) для представления горизонтального положения и единицы кватерниона (четыре параметра) для представления ориентации. n вектор представляет собой одно к одному, что означает, что любое положение поверхности соответствует одному уникальному n вектору, а любое n вектор соответствует одному уникальному положению поверхности. В качестве евклидового 3D-вектора для расчетов положения может использоваться стандартная 3D-векторная алгебра, что делает n-вектор хорошо подходящим для большинства расчетов горизонтального положения.

Пример: расстояние по великому кругу

Обычно для определения расстояния между двумя горизонтальными положениями (при условии, что Земля сферическая) используют широту и долготу. Три различных выражения для этого расстояния являются общими; первое основано на arccos, второе основано на arcsin, и окончательное основано на arctan. Выражения, которые постепенно усложняются, чтобы избежать численной нестабильности, нелегко найти, и поскольку они основаны на широте и долготе, сингулярности полюсов могут стать проблемой. Они также содержат дельты широты и долготы, которые в целом следует использовать с осторожностью вблизи меридиана ±180 ° и полюсов. Решение той же задачи с помощью n векторов проще из-за возможности использования векторной алгебры. Выражение arccos получается из точечного произведения, в то время как величина крестового произведения дает выражение arcsin. Объединение двух дает арктановое выражение: где и являются n векторами, представляющими две позиции a и b. является угловой разницей, и таким образом расстояние великого круга достигается путем умножения на радиус Земли. Это выражение также работает на полюсах и на меридиане ±180°. Есть несколько других примеров, где использование векторной алгебры упрощает стандартные задачи. Общее сравнение различных представлений см. на странице представлений горизонтального положения.