Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
n векторлы бейнелеу (геодезиялық нормаль немесе эллипсоидтық нормаль векторы деп те аталады) - математикалық есептеулер мен компьютерлік алгоритмдердегі горизонтальдық позицияны бейнелеу үшін геодезиялық координаттарды (шекаралық және ұзындықты) ауыстыруға қолайлы үш параметрлі жеке емес бейнелеу. Геометриялық тұрғыдан алғанда, эллипсоидтағы берілген позиция үшін n векторы - эллипсоидқа қатысты сол позицияда қалыпты болып табылатын сыртқа қарай бағытталған бірлік векторы. Жер бетіндегі көлденең позицияны көрсету үшін эллипсоид - эталондық эллипсоид және вектор Жерге бағытталған Жердің тұрақты координаттар жүйесінде ыдырайды. Ол Жердің барлық орналасуында бірқалыпты түрде әрекет етеді және математикалық бірден бірге деген қасиетті сақтайды. Жалпы алғанда, бұл ұғымды k өлшемді Евклид кеңістігінің қатаң құрғақ шектелген қосалқы жиынтығының шекарасындағы позицияларды көрсетуге қолдануға болады, егер бұл шекара дифференциалдалатын көптүрлілік болса. Бұл жалпы жағдайда n вектор k параметрлерден тұрады.
The n vector representation (also called geodetic normal or ellipsoid normal vector) is a three parameter non singular representation well suited for replacing geodetic coordinates (latitude and longitude) for horizontal position representation in mathematical calculations and computer algorithms. Geometrically, the n vector for a given position on an ellipsoid is the outward pointing unit vector that is normal in that position to the ellipsoid. For representing horizontal positions on Earth, the ellipsoid is a reference ellipsoid and the vector is decomposed in an Earth centered Earth fixed coordinate system. It behaves smoothly at all Earth positions, and it holds the mathematical one to one property. More in general, the concept can be applied to representing positions on the boundary of a strictly convex bounded subset of k dimensional Euclidean space, provided that that boundary is a differentiable manifold. In this general case, the n vector consists of k parameters.
Жалпы қасиеттері
Қатаң түрде бүгілген бетке арналған нормальдық вектор беттің орнын бірден анықтау үшін пайдаланылуы мүмкін. n векторы - позицияны көрсету үшін бірлік ұзындығы бар сыртқа бағытталған нормальды вектор. Көптеген қолданбалар үшін бет Жердің эталондық эллипсоиды болып табылады, сондықтан n векторы горизонтальдық позицияны бейнелеу үшін қолданылады. Демек, n вектор мен экваторлық жазықтық арасындағы бұрыш геодезиялық ендікке сәйкес келеді, суретте көрсетілгендей. Жер бетіндегі позиция екі еркіндік дәрежесіне ие, сондықтан екі параметр жер бетіндегі кез келген позицияны көрсетуге жеткілікті. Анықтама эллипсоидта ендік пен бойлық осы мақсатта ортақ параметрлер болып табылады, бірақ барлық екі параметрлік бейнелеу сияқты олардың да ерекшеліктері бар. Бұл бағдарлауға ұқсас, ол үш еркіндік дәрежесіне ие, бірақ барлық үш параметрлік бейнелеудің де ерекшеліктері бар. Екі жағдайда да сингулярлықтан қосымша параметрді қосу арқылы аулақ болу керек, яғни горизонтальдық орнын бейнелеу үшін n векторды (үш параметр) және бағдарды бейнелеу үшін бірлік кватернионды (төрт параметр) пайдалану. n вектор - бірден бірге тең бейнелеу, яғни кез келген бет позициясы бір бірегей n векторға сәйкес келеді, ал кез келген n вектор бір бірегей бет позициясына сәйкес келеді. Евклидтік 3D вектор ретінде стандартты 3D векторлық алгебраны орналасу есептеулері үшін қолдануға болады, бұл n векторды көпшілік горизонталь орналасу есептеулеріне жақсы сәйкес келеді.
A normal vector to a strictly convex surface can be used to uniquely define a surface position. n vector is an outward pointing normal vector with unit length used as a position representation. For most applications the surface is the reference ellipsoid of the Earth, and thus n vector is used to represent a horizontal position. Hence, the angle between n vector and the equatorial plane corresponds to geodetic latitude, as shown in the figure. A surface position has two degrees of freedom, and thus two parameters are sufficient to represent any position on the surface. On the reference ellipsoid, latitude and longitude are common parameters for this purpose, but like all two parameter representations, they have singularities. This is similar to orientation, which has three degrees of freedom, but all three parameter representations have singularities. In both cases the singularities are avoided by adding an extra parameter, i. e. to use n vector (three parameters) to represent horizontal position and a unit quaternion (four parameters) to represent orientation. n vector is a one to one representation, meaning that any surface position corresponds to one unique n vector, and any n vector corresponds to one unique surface position. As a Euclidean 3D vector, standard 3D vector algebra can be used for the position calculations, and this makes n vector well suited for most horizontal position calculations.
Үлгі: Үлкен шеңбер аралығы
Екі көлденең позицияның арасындағы үлкен шеңбер қашықтығын табу (сфералық Жерді болжамдай отырып) әдетте ендік пен бойлық арқылы жасалады. Бұл қашықтықты үш түрлі өрнектермен сипаттауға болады; біріншісі - арккосқа, екіншісі - арксинге, ал соңғысы - арктанға негізделген. Сандық тұрақсыздықты болдырмау үшін бірінен соң бірі күрделірек өрнектерді табу оңай емес, өйткені олар ендік пен бойлыққа негізделген, полюс сингулярлықтары проблемаға айналуы мүмкін. Сонымен қатар, олардың ішінде ±180° меридиан мен полюстердің маңында мұқият пайдалану керек ендік пен бойлық дельталары бар. Бірдей мәселені n векторды пайдалану арқылы шешу векторлық алгебраны пайдалану мүмкіндігіне байланысты қарапайым. Аркос өрнегі нүктелі көбейтіндіден алынады, ал қиылысты көбейтіндісінің шамасы арксин өрнегін береді. Осы екеуін біріктірсек, арктан өрнегі беріледі: мұндағы a және b екі позицияны білдіретін n векторлар. бұрыштық айырмашылық, сондықтан үлкен шеңбер қашықтығы Жер радиусымен көбейту арқылы жүзеге асырылады. Бұл өрнек полюстерде және ±180° меридианда да жұмыс істейді. Векторлық алгебраны қолдану стандартты мәселелерді жеңілдететін тағы бірнеше мысал бар. Әр түрлі бейнелеуді жалпы салыстыру үшін көлденең позиция бейнелеулер бетіне қараңыз.
Finding the great circle distance between two horizontal positions (assuming spherical Earth) is usually done by means of latitude and longitude. Three different expressions for this distance are common; the first is based on arccos, the second is based on arcsin, and the final is based on arctan. The expressions, which are successively more complex to avoid numerical instabilities, are not easy to find, and since they are based on latitude and longitude, the Pole singularities may become a problem. They also contain deltas of latitude and longitude, which in general should be used with care near the ±180° meridian and the Poles. Solving the same problem using n vector is simpler due to the possibility of using vector algebra. The arccos expression is achieved from the dot product, while the magnitude of the cross product gives the arcsin expression. Combining the two gives the arctan expression:
where and are the n vectors representing the two positions a and b. is the angular difference, and thus the great circle distance is achieved by multiplying with the Earth radius. This expression also works at the poles and at the ±180° meridian. There are several other examples where the use of vector algebra simplifies standard problems. For a general comparison of the various representations, see the horizontal position representations page.