Étale topology

Введение

Тип топологии Гротендика на категории схем В алгебраической геометрии топология эталя - топология Гротендика на категории схем, которая имеет свойства, аналогичные топологии Евклида, но в отличие от топологии Евклида, она также определяется в положительной характеристике. Топология эталей была первоначально введена Александром Гротендикком для определения кохомологии эталей, и это до сих пор наиболее известное использование топологии эталей.

Определения

Для любой схемы X, пусть Ét(X) будет категорией всех этальных морфизмов от схемы до X. Это аналог категории открытых подмножеств X (то есть категории, объекты которой являются разновидностями, а морфизмы - открытыми погружениями). Его объекты могут быть неофициально рассматриваться как этальные открытые подмножества X. Пересечение двух объектов соответствует их волокнистому произведению над X. Ét(X) является большой категорией, что означает, что его объекты не образуют множества. Этальный прешеф на X является контравариантным функтором от Ét(X) к категории множеств. Пресхеф F называется эталевым сгустом, если он соответствует аналогу обычного условия склеивания сгустов на топологических пространствах. То есть, F является этальным снопом, если и только если верно следующее условие. Предположим, что U → X является объектом Ét(X) и что Ui → U является совместно сюръективным семейством этальных морфизмов над X. Для каждого i выберите секцию xi F над Ui. Карта проекции Ui × Uj → Ui, которая в свободном выражении включает в себя пересечение Ui и Uj в Ui, вызывает карту ограничений F ((Ui) → F ((Ui × Uj). Если для всех i и j ограничения xi и xj для Ui × Uj равны, то должен существовать уникальный разрез x F по U, который ограничивается xi для всех i. Предположим, что X - это схема Ноэтера. Абелевский эталевый сноп F на X называется конечной локальной постоянной, если он представляется функционалом, который может быть представлен эталевой крышкой X. Она называется конструктивной, если X может быть покрыта конечной семьей подсхем, на каждой из которых ограничение F является конечным локально постоянным. Она называется торсией, если F ((U) является группой торсий для всех эталевых покрытий U из X. Конечные локально постоянные снопы являются конструктивными, а конструктивные снопы являются торсией. Каждый торсионный сноп является фильтрованным индуктивным пределом конструктивных снопов. Гротендик первоначально ввел механизм топологий Гротендика и топои для определения топологии эталей. В этом языке определение эталевой топологии является кратким, но абстрактным: это топология, порожденная претопологией, охватывающие семьи которой являются совместно сюръективными семьями эталевых морфизмов. Маленький этальный сайт X - это категория O ((Xét), объектами которой являются схемы U с фиксированным этальным морфизмом U → X. Морфизмы - это морфизмы схем, совместимые с фиксированными отображениями на X. Большой эталь X - это категория Ét/X, то есть категория схем с фиксированной картой X, рассматриваемой с этальной топологией. Топология этале может быть определена с использованием немного меньшего количества данных. Во-первых, обратите внимание, что этальная топология более тонкая, чем топология Зариски. Следовательно, для определения этального покрытия схемы X достаточно сначала покрыть X открытыми аффиновыми подсхемами, то есть взять покрытие Зариски, а затем определить этальное покрытие аффиновой схемы. Этальное покрытие аффинной схемы X может быть определено как совместно сюръективное семейство {uα: Xα → X} таким образом, что множество всех α является конечным, каждый Xα является аффинным, а каждый uα - этальным. Тогда этальная крышка X является семейством {uα: Xα → X} , которое становится этальной крышкой после изменения основы на любую открытую аффинную подсхему X.

For any scheme X, let Ét(X) be the category of all étale morphisms from a scheme to X. This is the analog of the category of open subsets of X (that is, the category whose objects are varieties and whose morphisms are open immersions). Its objects can be informally thought of as étale open subsets of X. The intersection of two objects corresponds to their fiber product over X. Ét(X) is a large category, meaning that its objects do not form a set. An étale presheaf on X is a contravariant functor from Ét(X) to the category of sets. A presheaf F is called an étale sheaf if it satisfies the analog of the usual gluing condition for sheaves on topological spaces. That is, F is an étale sheaf if and only if the following condition is true. Suppose that U → X is an object of Ét(X) and that Ui → U is a jointly surjective family of étale morphisms over X. For each i, choose a section xi of F over Ui. The projection map Ui × Uj → Ui, which is loosely speaking the inclusion of the intersection of Ui and Uj in Ui, induces a restriction map F(Ui) → F(Ui × Uj). If for all i and j the restrictions of xi and xj to Ui × Uj are equal, then there must exist a unique section x of F over U which restricts to xi for all i. Suppose that X is a Noetherian scheme. An abelian étale sheaf F on X is called finite locally constant if it is a representable functor which can be represented by an étale cover of X. It is called constructible if X can be covered by a finite family of subschemes on each of which the restriction of F is finite locally constant. It is called torsion if F(U) is a torsion group for all étale covers U of X. Finite locally constant sheaves are constructible, and constructible sheaves are torsion. Every torsion sheaf is a filtered inductive limit of constructible sheaves. Grothendieck originally introduced the machinery of Grothendieck topologies and topoi to define the étale topology. In this language, the definition of the étale topology is succinct but abstract: It is the topology generated by the pretopology whose covering families are jointly surjective families of étale morphisms. The small étale site of X is the category O(Xét) whose objects are schemes U with a fixed étale morphism U → X. The morphisms are morphisms of schemes compatible with the fixed maps to X. The big étale site of X is the category Ét/X, that is, the category of schemes with a fixed map to X, considered with the étale topology. The étale topology can be defined using slightly less data. First, notice that the étale topology is finer than the Zariski topology. Consequently, to define an étale cover of a scheme X, it suffices to first cover X by open affine subschemes, that is, to take a Zariski cover, and then to define an étale cover of an affine scheme. An étale cover of an affine scheme X can be defined as a jointly surjective family {uα : Xα → X} such that the set of all α is finite, each Xα is affine, and each uα is étale. Then an étale cover of X is a family {uα : Xα → X} which becomes an étale cover after base changing to any open affine subscheme of X.

Местные кольца

Пусть X будет схемой с ее этальной топологией, и фиксируйте точку x из X. В топологии Зариски стебель X в x вычисляется путем прямого ограничения секций бунта структуры по всем открытым районам Зариски x. В топологии этале существуют строго более открытые соседства x, поэтому правильный аналог локального кольца в x формируется путем принятия предела над строго более крупным семейством. Правильным аналогом локального кольца в x для топологии этале оказывается строгая Хензелизация локального кольца . Обычно он обозначается .

Примеры

Для каждого этального морфизма , пусть Then является предшественником X; это пачка , поскольку она может быть представлена схемой .