Введение
В математической области теории групп группа G остаточно конечна или конечно приблизительна, если для каждого элемента g, который не является тождеством в G, существует гомоморфизм h от G к конечной группе, такой, что существует ряд эквивалентных определений: группа остаточно конечна, если для каждого не идентичного элемента в группе существует нормальная подгруппа конечного индекса, не содержащая этот элемент. Группа остаточно конечна, если и только если пересечение всех ее подгрупп конечного индекса тривиально. Группа остаточно конечна, если и только если пересечение всех ее нормальных подгрупп конечного индекса тривиально. Группа остаточно конечна, если и только если она может быть встроена в прямое произведение семьи конечных групп.
There are a number of equivalent definitions:
A group is residually finite if for each non identity element in the group, there is a normal subgroup of finite index not containing that element. A group is residually finite if and only if the intersection of all its subgroups of finite index is trivial. A group is residually finite if and only if the intersection of all its normal subgroups of finite index is trivial. A group is residually finite if and only if it can be embedded inside the direct product of a family of finite groups.
Примеры
Примерами групп, которые являются остаточно конечными, являются конечные группы, свободные группы, конечно генерируемые нилпотентные группы, полициклические по конечным группам, конечно генерируемые линейные группы и фундаментальные группы компактных 3-х многообразий. Подгруппы остаточно конечных групп остаточно конечны, а прямые произведения остаточно конечных групп остаточно конечны. Любая обратная граница остаточно конечных групп остаточно конечна. В частности, все проопределенные группы остаточно конечны. Примеры не остаточно конечных групп могут быть построены с использованием того факта, что все конечно сгенерированные остаточно конечные группы являются группами Хопфиана. Например, группа BaumslagSolitar B ((2,3) не является гопфианской, и, следовательно, не остаточно конечной.
Определенная топология
Каждая группа G может быть превращена в топологическую группу, взяв в качестве основы открытых соседств тождества, коллекцию всех нормальных подгрупп конечного индекса в G. Полученная топология называется проконечной топологией на G. Группа остаточно конечна, если и только если ее проконечная топология является топологией Гаусдорфа. Группа, циклические подгруппы которой закрыты в предельной топологии, называется группой. Группы, каждая из конечно сгенерированных подгрупп которой закрыта в предельной топологии, называются подгруппой, отделимой (также LERF, для локально расширенного остаточного конечного). Группа, в которой каждый класс конъюгации закрыт в проконечной топологии, называется разделяемой конъюгацией.