Введение

Изучение основных математических понятий, представленное в книге Гильберта и Бернейса «Основы математики», – это исследование философских, логических и/или алгоритмических основ математики, или, в более широком смысле, математическое исследование того, что лежит в основе философских теорий о природе математики. В последнем смысле различие между основами математики и философией математики оказывается нечетким. Основы математики можно понимать как изучение базовых математических понятий (множества, функции, геометрические фигуры, числа и т. д.) и того, как они формируют иерархии более сложных структур и понятий, особенно фундаментально важных структур, составляющих язык математики (формулы, теории и их модели, придающие формулам смысл, определения, доказательства, алгоритмы и т. д.), также называемых метаматематическими понятиями, с учетом философских аспектов и единства математики. Поиск основ математики является центральным вопросом философии математики; абстрактный характер математических объектов порождает особые философские трудности. Основы математики в целом не стремятся охватить основы каждой математической темы. Как правило, основы области исследования относятся к более или менее систематическому анализу ее наиболее базовых или фундаментальных понятий, ее концептуального единства и естественной упорядоченности или иерархии понятий, которые могут помочь связать ее с другими областями человеческого знания. Разработка, возникновение и уточнение основ могут происходить на поздних этапах истории области и не всегда рассматриваются всеми как ее наиболее интересная часть. Математика играет особую роль в научном мышлении, с древних времен служа моделью истины и строгости для рационального исследования, а также предоставляя инструменты или даже основу для других наук (особенно физики). Многочисленные достижения математики в направлении более высоких абстракций в XIX веке принесли новые проблемы и парадоксы, требуя более глубокого и систематического изучения природы и критериев математической истины, а также объединения различных ветвей математики в единое целое. Систематический поиск основ математики начался в конце XIX века и сформировал новую математическую дисциплину, названную математической логикой, которая впоследствии установила тесные связи с теоретической информатикой. Она пережила ряд кризисов с парадоксальными результатами, пока в XX веке открытия не стабилизировались, образовав обширный и последовательный корпус математических знаний с различными аспектами или компонентами (теория множеств, теория моделей, теория доказательств и т. д.), детальные свойства и возможные варианты которых до сих пор являются активной областью исследований. Высокий уровень технической сложности вдохновил многих философов предположить, что она может служить моделью или образцом для основ других наук.

Древнегреческая математика

Хотя практика математики ранее развивалась в других цивилизациях, особый интерес к её теоретическим и фундаментальным аспектам отчетливо проявился в трудах древних греков. Ранние греческие философы спорили о том, что является более основополагающим – арифметика или геометрия. Зенон Элейский (ок. 490 – 430 гг. до н.э.) выдвинул четыре парадокса, демонстрирующих, казалось бы, невозможность изменения. Пифагорейская школа математики изначально утверждала, что существуют только натуральные и рациональные числа. Открытие иррациональности √2, соотношения диагонали квадрата к его стороне (около V века до н.э.), стало для них потрясением, которое они приняли лишь с неохотой. Противоречие между рациональными и действительными числами было окончательно разрешено Евдоксом Книдским (408–355 гг. до н.э.), учеником Платона, который свёл сравнение двух иррациональных отношений к сравнению кратных соответствующих величин. Его метод предвосхитил метод Дедекинда, используемый в современном определении действительных чисел Ричардом Дедекиндом (1831–1916). В «Постериорной аналитике» Аристотель (384–322 гг. до н.э.) сформулировал аксиоматический метод логической организации области знаний посредством исходных понятий, аксиом, постулатов, определений и теорем. Аристотель для иллюстрации этого метода в основном использовал примеры из арифметики и геометрии. Вершиной этого метода стали «Начала» Евклида (300 г. до н.э.) – трактат по математике, отличающийся высочайшими стандартами строгости: Евклид обосновывает каждое положение доказательством в форме цепочек силлогизмов (хотя они не всегда строго соответствуют аристотелевским схемам). Силлогистическая логика Аристотеля, наряду с аксиоматическим методом, продемонстрированным в «Началах» Евклида, признаётся научным достижением Древней Греции.

Платонизм как философия математики

Начиная с конца XIX века платонистский взгляд на математику стал распространенным среди практикующих математиков. Понятия, или, как утверждают платонисты, объекты математики, абстрактны и далеки от повседневного чувственного опыта: геометрические фигуры представляются как идеальные формы, отличные от конкретных чертежей и форм объектов, а числа не отождествляются со счетом конкретных предметов. Их существование и природа порождают особые философские вопросы: чем математические объекты отличаются от их конкретных представлений? Существуют ли они в этих представлениях, в нашем сознании или где-то еще? Как мы можем их познать? Древнегреческие философы относились к этим вопросам с большой серьезностью. Действительно, многие из их общих философских дискуссий велись со значительными отсылками к геометрии и арифметике. Платон (424/423 до н.э. – 348/347 до н.э.) настаивал на том, что математические объекты, как и другие платонические идеи (формы или сущности), должны быть совершенно абстрактными и обладать отдельным, нематериальным видом существования в мире математических объектов, независимом от людей. Он полагал, что истины об этих объектах также существуют независимо от человеческого разума, но открываются людьми. В диалоге «Менон» учитель Платона Сократ утверждает, что к познанию этих истин можно прийти посредством процесса, напоминающего припоминание. Над воротами Платоновской академии была помещена знаменитая надпись: «Да не войдет сюда не умеющий геометрии». Таким образом Платон выразил свое высокое мнение о геометрии, считая ее «первостепенно необходимой в подготовке философов» благодаря ее абстрактному характеру. Эту философию платонического математического реализма разделяют многие математики. Некоторые авторы утверждают, что платонизм является необходимым предположением, лежащим в основе любой математической работы. Согласно этой точке зрения, законы природы и законы математики имеют схожий статус, и эффективность перестает быть необъяснимой. Основой является не совокупность наших аксиом, а реальный мир математических объектов. Аристотель подверг критике и отверг эту точку зрения в своей «Метафизике». Эти вопросы служат богатым материалом для философского анализа и дискуссий.

Средневековье и эпоха Возрождения

Более 2000 лет "Начала" Евклида были надёжным фундаментом математики, поскольку его методология рационального исследования направляла математиков, философов и учёных вплоть до XIX века. В Средние века разгорелся спор об онтологическом статусе универсалий (платонических идей): реализм утверждал их существование независимо от восприятия; концептуализм – их существование лишь в уме; номинализм отрицал их, рассматривая универсалии лишь как имена коллекций отдельных объектов (вслед за более ранними предположениями, что они являются словами, "логосами"). Рене Декарт опубликовал "Геометрию" (1637), целью которой было сведение геометрии к алгебре посредством систем координат, придав алгебре более фундаментальную роль (в то время как греки использовали длины для определения чисел, которые сегодня называются действительными числами). Книга Декарта приобрела известность после 1649 года и подготовила почву для математического анализа. Исаак Ньютон (1642–1727) в Англии и Лейбниц (1646–1716) в Германии независимо друг от друга разработали математический анализ, основы которого требовали новых принципов. В частности, Лейбниц описывал бесконечно малые как числа, бесконечно близкие к нулю, концепция, не вписывающаяся в прежнюю фундаментальную структуру математики и не получившая формализации до XX века. Глубокое влияние математического анализа на основы математики иллюстрируется памфлетом протестантского философа Джорджа Беркли (1685–1753), который писал: "[Бесконечно малые] не являются ни конечными величинами, ни бесконечно малыми, но и не ничем. Неужели мы не можем назвать их призраками исчезнувших величин?". Лейбниц также занимался логикой, но большинство его работ в этой области оставались неопубликованными до 1903 года. В последующие столетия математика развивалась очень быстро и успешно находила применение в физике.

19 век

В XIX веке математика становилась все более абстрактной. Опасения по поводу логических неточностей и противоречий в различных областях привели к разработке аксиоматических систем.

Реальный анализ

Коши (1789–1857) начал проект формулирования и доказательства теорем дифференциального и интегрального исчисления строгим образом, отвергая эвристический принцип общности алгебры, использовавшийся более ранними авторами. В своей работе 1821 года «Cours d'Analyse» он определяет бесконечно малые величины через убывающие последовательности, стремящиеся к 0, которые затем использовал для определения непрерывности. Однако он не формализовал своё понятие сходимости. Современное (ε, δ) определение предела и непрерывных функций было впервые разработано Болцано в 1817 году, но долгое время оставалось малоизвестным. Оно даёт строгое основание дифференциального и интегрального исчисления, основанное на множестве действительных чисел, и, возможно, разрешает парадоксы Зенона и аргументы Беркли. Математики, такие как Карл Вейерштрасс (1815–1897), обнаружили патологические функции, например, непрерывные функции, нигде не дифференцируемые. Прежние представления о функции как о правиле вычисления или гладком графике оказались недостаточными. Вейерштрасс начал выступать за арифметизацию анализа, за аксиоматизацию анализа с использованием свойств натуральных чисел. В 1858 году Дедекинд предложил определение действительных чисел как сечений рациональных чисел. Это сведение действительных чисел и непрерывных функций к рациональным числам, а следовательно, и к натуральным числам, позднее было интегрировано Кантором в его теорию множеств и аксиоматизировано с точки зрения арифметики второго порядка Гильбертом и Бернейсом.

Теория групп

Впервые были исследованы границы математики. Нильс Хенрик Абель (1802–1829), норвежец, и Эварист Галуа (1811–1832), француз, изучали решения различных полиномиальных уравнений и доказали, что не существует общего алгебраического решения уравнений степени выше четырех (теорема Абеля — Руффини). Используя эти концепции, Пьер Вантцель (1837) доказал, что невозможно разделить произвольный угол на три равные части, используя только циркуль и линейку, а также удвоить куб. В 1882 году Линдманн, опираясь на работы Эрмита, показал, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки (построение квадрата, равновеликого данному кругу) также невозможна, доказав, что π является трансцендентным числом. Математики безуспешно пытались решить все эти задачи со времен древних греков. Работы Абеля и Галуа проложили путь для развития теории групп (которая впоследствии была использована для изучения симметрии в физике и других областях) и абстрактной алгебры. Концепции векторных пространств возникли из идеи барицентрических координат, предложенной Мёбиусом в 1827 году, и получили современное определение векторных пространств и линейных отображений благодаря работам Пеано в 1888 году. Геометрия больше не ограничивалась тремя измерениями. Эти концепции не обобщали числа, а объединяли представления о функциях и множествах, которые еще не были формализованы, отходя от привычных математических объектов.

Неевклидова геометрия

После многочисленных неудачных попыток вывести постулат о параллельных прямых из других аксиом, изучение ещё гипотетической гиперболической геометрии Иоганном Генрихом Ламбертом (1728–1777) привело его к введению гиперболических функций и вычислению площади гиперболического треугольника (где сумма углов меньше 180°). Затем русский математик Николай Лобачевский (1792–1856) установил в 1826 году (и опубликовал в 1829 году) непротиворечивость этой геометрии (и тем самым независимость постулата о параллельных прямых), параллельно с венгерским математиком Яношем Бояи (1802–1860) в 1832 году и с Гауссом. Позднее, в XIX веке, немецкий математик Бернхард Риманн разработал эллиптическую геометрию – ещё одну неевклидову геометрию, в которой параллельные прямые отсутствуют, а сумма углов в треугольнике превышает 180°. Её непротиворечивость была доказана путем определения точки как пары антиподальных точек на фиксированной сфере, а прямой – как большого круга на сфере. В то время основным методом доказательства непротиворечивости системы аксиом было построение для неё модели.

Проективная геометрия

Одной из ловушек дедуктивной системы является круговое рассуждение, проблема, которая, казалось, постигла проективную геометрию, пока она не была разрешена Карлом фон Стаудом. Как объясняют русские историки:

В середине девятнадцатого века разгорелись острые споры между сторонниками синтетического и аналитического методов в проективной геометрии, обе стороны обвиняли друг друга в смешении проективных и метрических понятий. Действительно, основное понятие, используемое в синтетическом изложении проективной геометрии – двойное отношение четырех точек на прямой – было введено через рассмотрение длин отрезков. Чисто геометрический подход фон Стаута основывался на полном четырехугольнике для выражения соотношения проективно сопряженных точек. Затем он разработал способ выражения привычных числовых свойств с помощью своей алгебры бросков. Англоязычные описания этого процесса вывода свойств поля можно найти в книге Освальда Веблена и Джона Янга «Проективная геометрия» (1938) или, более недавно, в книге Джона Стилвелла «Четыре столпа геометрии» (2005). Стилвелл пишет на странице 120:

Проективная геометрия в определенном смысле проще алгебры, поскольку мы используем лишь пять геометрических аксиом для получения девяти аксиом поля. Алгебра бросков часто рассматривается как неотъемлемая часть двойных отношений, поскольку студенты обычно полагаются на числа, не задумываясь об их основаниях. Однако вычисление двойных отношений использует метрические характеристики геометрии, которые не допускаются строгими пуристами. Например, в 1961 году Коксетер опубликовал «Введение в геометрию», не упоминая о двойном отношении.

Булева алгебра и логика

Попытки формального исследования математики начались с Лейбница и Ламберта (1728–1777) и продолжились в трудах алгебраистов, таких как Джордж Пикок (1791–1858). Систематическое математическое изучение логики началось с работ британского математика Джорджа Буля (1847), который разработал алгебру, вскоре эволюционировавшую в то, что сейчас называется булевой алгеброй. В ней единственными числами были 0 и 1, а логические комбинации (конъюнкция, дизъюнкция, импликация и отрицание) представляли собой операции, аналогичные сложению и умножению целых чисел. Кроме того, Де Морган опубликовал свои законы в 1847 году. Таким образом, логика стала ветвью математики. Булева алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важное применение в информатике. Чарльз Сандерс Пирс, опираясь на работы Буля, разработал логическую систему для отношений и кванторов, которую опубликовал в ряде статей с 1870 по 1885 год. Немецкий математик Готтлоб Фреге (1848–1925) представил независимую разработку логики с кванторами в своей работе "Begriffsschrift" (язык формул), опубликованной в 1879 году, которая обычно считается поворотным моментом в истории логики. Он выявил недостатки логики Аристотеля и указал на три ожидаемых свойства математической теории: согласованность – невозможность доказательства противоречивых утверждений; полнота – любое утверждение либо доказуемо, либо опровержимо (то есть его отрицание доказуемо); разрешимость – существование процедуры принятия решения для проверки любого утверждения в теории. Затем он показал в "Grundgesetze der Arithmetik" (Основные законы арифметики), как арифметику можно формализовать в его новой логике. Работы Фреге были популяризированы Бертраном Расселом в начале XX века. Однако двумерная нотация Фреге не получила распространения. Популярными обозначениями были (x) для универсального и (∃x) для экзистенциального кванторов, предложенными Джузеппе Пеано и Уильямом Эрнестом Джонсоном, пока символ ∀ не был введен Герхардом Гентценом в 1935 году и не стал каноническим в 1960-х годах. С 1890 по 1905 год Эрнст Шредер опубликовал "Vorlesungen über die Algebra der Logik" в трех томах. Эта работа обобщила и расширила работы Буля, Де Моргана и Пирса и представляла собой всеобъемлющий справочник по символической логике, как она понималась в конце XIX века.

Арифметика Пеано

Формализация арифметики (теории натуральных чисел) как аксиоматической теории началась с Пирса в 1881 году и продолжилась у Ричарда Дедекинда и Джузеппе Пеано в 1888 году. Это была аксиоматизация второго порядка (выражающая индукцию через произвольные подмножества, и, следовательно, неявно использующая теорию множеств), поскольку значимость представления теорий в логике первого порядка ещё не была осознана. В работах Дедекинда этот подход проявляется в полном описании натуральных чисел и предоставлении рекурсивных определений сложения и умножения на основе функции следования и математической индукции.

Философские взгляды

В начале XX века три школы философии математики противопоставлялись друг другу: формализм, интуиционизм и логицизм. Вторая конференция по эпистемологии точных наук, проходившая в Кенигсберге в 1930 году, предоставила площадку для обсуждения этим трем школам.

Формализм

Утверждается, что формалисты, такие как Давид Гильберт (1862–1943), считают математику лишь языком и серией игр. Действительно, он использовал выражение "игра с формулами" в своем ответе 1927 года на критику Л. Э. Й. Брауэра:

"И насколько успешной оказалась эта игра с формулами?" Эта игра с формулами позволяет нам выразить все содержание математической науки единообразно и развивать его таким образом, чтобы одновременно становились ясными взаимосвязи между отдельными утверждениями и фактами. Игра с формулами, которую Брауэр так критикует, помимо своей математической ценности, имеет важное общее философское значение. Ведь эта игра проводится по определенным правилам, в которых выражается техника нашего мышления. Эти правила образуют замкнутую систему, которую можно обнаружить и окончательно сформулировать. Таким образом, Гильберт настаивает на том, что математика – это не произвольная игра с произвольными правилами; скорее, она должна соответствовать тому, как происходит наше мышление, а затем – наша речь и письмо. Основополагающая философия формализма, как это демонстрирует Давид Гильберт, является ответом на парадоксы теории множеств и базируется на формальной логике. Практически все математические теоремы сегодня можно сформулировать как теоремы теории множеств. Истинность математического утверждения, с этой точки зрения, представляется тем фактом, что это утверждение может быть выведено из аксиом теории множеств с использованием правил формальной логики. Однако одно лишь использование формализма не объясняет ряд вопросов: почему мы должны использовать именно те аксиомы, которые используем, а не какие-либо другие, почему мы должны применять именно те логические правила, которые применяем, а не какие-либо другие, почему "истинные" математические утверждения (например, законы арифметики) кажутся истинными, и так далее. Герман Вейль задал Гильберту именно эти вопросы:

"Какую "истину" или объективность можно приписать этой теоретической конструкции мира, которая простирается далеко за пределы данного?" – это глубокая философская проблема. Она тесно связана с другим вопросом: что побуждает нас в качестве основы выбирать именно ту конкретную систему аксиом, разработанную Гильбертом? Последовательность, безусловно, является необходимым, но недостаточным условием. В настоящее время мы, вероятно, не можем ответить на этот вопрос.

В некоторых случаях на эти вопросы можно получить достаточное объяснение посредством изучения формальных теорий в таких дисциплинах, как обратная математика и теория вычислительной сложности. Как отметил Вейль, формальные логические системы также подвержены риску противоречий; в арифметике Пеано это, возможно, уже было решено с помощью нескольких доказательств непротиворечивости, но ведутся споры о том, достаточно ли они финальны, чтобы иметь смысл. Вторая теорема о неполноте Гёделя устанавливает, что логические системы арифметики никогда не могут содержать строгого доказательства собственной непротиворечивости. Гильберт хотел доказать непротиворечивость логической системы S, опираясь на принципы P, которые составляли лишь небольшую часть S. Но Гёдель доказал, что принципы P даже не могут доказать непротиворечивость самих себя, не говоря уже о S.

Интуиционизм

Интуиционисты, такие как Л. Э. Брауэр (1882–1966), утверждают, что математика является продуктом человеческого разума. Числа, подобно персонажам сказок, – это лишь ментальные сущности, которые не существовали бы, если бы не было человеческих умов, способных их обдумывать. Фундаментальная философия интуиционизма или конструктивизма, наиболее ярко выраженная у Брауэра и Стивена Клине, требует, чтобы доказательства были "конструктивными" по своей природе: существование объекта должно быть продемонстрировано, а не выведено из доказательства невозможности его несуществования. Например, вследствие этого форма доказательства, известная как reductio ad absurdum, вызывает сомнения. Некоторые современные теории в философии математики отрицают существование основ в изначальном смысле. Некоторые из них сосредотачиваются на математической практике, стремясь описать и проанализировать реальную работу математиков как социальной группы. Другие пытаются создать когнитивную науку математики, фокусируясь на человеческом познании как источнике надёжности математики при её применении к реальному миру. Эти теории предлагают искать основания исключительно в человеческом мышлении, а не в каком-либо объективном внешнем построении. Этот вопрос остаётся предметом споров.

Логика

Логицизм — это философское направление и исследовательская программа в философии математики, основанное на тезисе о том, что математика является расширением логики или что некоторая часть или вся математика может быть выведена в подходящей формальной системе, аксиомы и правила вывода которой носят 'логический' характер. Бертра́н Рассел и Альфред Норт Уайтхед стали сторонниками этой теории, начатой Готлобом Фреге и испытавшей влияние Ричарда Дедекинда.

Платонистская теория множеств

Многие исследователи в аксиоматической теории множеств придерживаются того, что известно как платонизм в теории множеств, ярким примером чего является подход Курта Гёделя. Ряд теоретиков множеств последовали этому подходу и активно искали аксиомы, которые можно считать истинными по эвристическим соображениям и которые могли бы разрешить гипотезу континуума. Было изучено множество аксиом больших кардиналов, но гипотеза всегда оставалась независимой от них, и сейчас считается маловероятным, что гипотезу континуума можно разрешить с помощью новой аксиомы больших кардиналов. Рассматривались и другие типы аксиом, но ни одна из них пока не привела к консенсусу относительно гипотезы континуума. Недавние работы Хамкинса предлагают более гибкую альтернативу: мультивселенную теории множеств, допускающую свободный переход между теоретико-множественными вселенными, удовлетворяющими гипотезе континуума, и другими вселенными, которые её не удовлетворяют.

Философские последствия теоремы полноты Гёделя

Теорема полноты Гёделя устанавливает эквивалентность в логике первого порядка между формальной доказуемостью формулы и ее истинностью во всех возможных моделях. В частности, для любой непротиворечивой теории первого порядка она предоставляет "явное построение" модели, описываемой этой теорией; эта модель будет счетной, если язык теории счетен. Однако это "явное построение" не является алгоритмическим. Оно основано на итеративном процессе дополнения теории, где каждый шаг итерации заключается в добавлении формулы к аксиомам, если это сохраняет непротиворечивость теории; но вопрос о непротиворечивости лишь полуразрешим (существует алгоритм для обнаружения любого противоречия, но если противоречий нет, сам факт непротиворечивости может оставаться недоказуемым). Это можно рассматривать как своего рода обоснование платонической точки зрения, согласно которой объекты наших математических теорий реальны. Более точно, это показывает, что одного лишь предположения о существовании множества натуральных чисел как целостности (актуальной бесконечности) достаточно для того, чтобы вывести существование модели (мира объектов) любой непротиворечивой теории. Однако остается ряд трудностей: для любой непротиворечивой теории это обычно дает не единственный мир объектов, а бесконечность возможных миров, которые теория может описывать в равной степени, с возможным различием в истинности утверждений между ними. В случае теории множеств ни одна из моделей, полученных этим построением, не соответствует предполагаемой модели, поскольку они счетны, в то время как теория множеств стремится описать несчетные бесконечности. Подобные замечания можно сделать и в других случаях. Например, для теорий, включающих арифметику, такие построения обычно приводят к моделям, содержащим нестандартные числа, если метод построения специально не предназначен для их исключения. Поскольку она предоставляет модели для всех непротиворечивых теорий без различия, она не дает оснований принимать или отвергать какую-либо аксиому, пока теория остается непротиворечивой, но рассматривает все непротиворечивые аксиоматические теории как относящиеся к равноправно существующим мирам. Она не указывает, какую аксиоматическую систему следует предпочесть в качестве основания математики. Поскольку утверждения о непротиворечивости обычно недоказуемы, они остаются вопросом веры или нестрогих видов обоснования. Таким образом, существование моделей, предоставляемое теоремой полноты, на самом деле требует двух философских предпосылок: актуальной бесконечности натуральных чисел и непротиворечивости теории. Другим следствием теоремы полноты является то, что она оправдывает представление об бесконечно малых величинах как об актуально бесконечно малых, но ненулевых величинах, основываясь на существовании нестандартных моделей, которые столь же легитимны, как и стандартные. Эта идея была формализована Авраамом Робинсоном в теории нестандартного анализа.

Еще парадоксы

Ниже перечислены некоторые заметные результаты в метаматематике. Теория множеств Зермело–Френкеля является наиболее широко изучаемой аксиоматизацией теории множеств. Она обозначается ZFC, если включает аксиому выбора, и ZF, если аксиома выбора исключена. 1920: Торальф Сколем исправил доказательство Леопольда Лёвенхайма теоремы опускания Лёвенхайма–Сколема, что привело к парадоксу Сколема, обсуждавшемуся в 1922 году, а именно к существованию счетных моделей ZF, делая бесконечные кардинальности относительным свойством. 1922: Авраам Френкель доказал, что аксиому выбора нельзя доказать из аксиом теории множеств Зермело с урелементами. 1931: Публикация теорем Гёделя о неполноте, показавших, что существенные аспекты программы Гильберта не могли быть достигнуты. Он показал, как построить, для любой достаточно мощной и непротиворечивой рекурсивно аксиоматизируемой системы, такой как необходимая для аксиоматизации элементарной теории арифметики на (бесконечном) множестве натуральных чисел, утверждение, которое формально выражает собственную недоказуемость, и затем доказал, что оно эквивалентно утверждению о непротиворечивости теории; таким образом (при условии истинности непротиворечивости), система недостаточно мощна для доказательства собственной непротиворечивости, не говоря уже о том, что более простая система могла бы справиться с этой задачей. Таким образом, стало ясно, что понятие математической истины нельзя полностью определить и свести к чисто формальной системе, как это предполагалось в программе Гильберта. Это нанесло окончательный удар по сердцу программы Гильберта, по надежде, что непротиворечивость можно установить с помощью финитистских средств (не было ясно, какие именно аксиомы были "финитистскими", но какая бы аксиоматическая система ни имелась в виду, она была "слабее" системы, непротиворечивость которой предполагалось доказать). 1936: Альфред Тарский доказал теорему о неопределимости истины. 1936: Алан Тьюринг доказал, что общего алгоритма для решения проблемы останова для всех возможных пар входных данных программы не существует. 1938: Гёдель доказал непротиворечивость аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума. 1936–1937: Алонзо Черч и Алан Тьюринг независимо друг от друга опубликовали статьи, показывающие, что общее решение проблемы Entscheidungsproblem невозможно: универсальная истинность утверждений в логике первого порядка не является разрешимой (она лишь полуразрешима, как это следует из теоремы о полноте). 1955: Пётр Новиков показал, что существует конечно представленная группа G, для которой задача о слове для G неразрешима. 1963: Пол Коэн показал, что гипотезу континуума нельзя доказать из ZFC. Доказательство Коэна развило метод принуждения, который теперь является важным инструментом для установления результатов независимости в теории множеств. 1964: Вдохновленный фундаментальной случайностью в физике, Грегори Чейтин начал публиковать результаты по алгоритмической теории информации (измерение неполноты и случайности в математике). 1966: Пол Коэн показал, что аксиому выбора нельзя доказать в ZF даже без урелементов. 1970: Десятая проблема Гильберта оказалась неразрешимой: не существует рекурсивного решения для определения, имеет ли диофантово уравнение (многомерное полиномиальное уравнение) решение в целых числах. 1971: Проблема Суслина доказана независимой от ZFC.

На пути к разрешению кризиса

Начиная с 1935 года группа французских математиков Бурбаки начала публиковать серию книг для формализации многих областей математики на новом фундаменте теории множеств. Интуиционистская школа не привлекла много последователей, и лишь работа Бишопа в 1967 году позволила поставить конструктивную математику на более надёжную основу. Можно считать, что программа Гильберта была частично выполнена, и кризис в сущности разрешён, поскольку мы довольствуемся менее высокими требованиями, чем изначальные амбиции Гильберта. Эти амбиции были сформулированы во времена, когда не было ясно, возможно ли вообще построить строгое основание для математики. Существует множество различных версий теории множеств, различающихся по силе непротиворечивости, причём более сильные версии (постулирующие более высокие типы бесконечностей) содержат формальные доказательства непротиворечивости более слабых версий, но ни одна не содержит формального доказательства собственной непротиворечивости. Таким образом, единственное, чего нам не хватает, – это формальное доказательство непротиворечивости любой предпочитаемой версии теории множеств, например, ZF. На практике большинство математиков либо не исходят из аксиоматических систем, либо, если и исходят, не сомневаются в непротиворечивости ZFC, которая обычно является их предпочтительной аксиоматической системой. В большей части математики, как она практикуется, о неполноте и парадоксах лежащих в основе формальных теорий даже не задумываются, а в тех областях, где они имеют значение или попытки формализации могут привести к построению противоречивых теорий (например, в логике и теории категорий), к ним относятся с осторожностью. Развитие теории категорий в середине XX века показало полезность теорий множеств, гарантирующих существование более крупных классов, чем в ZFC, таких как теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя или теория множеств Тарского — Гротендика, хотя во многих случаях использование больших кардинальных аксиом или вселенных Гротендика формально избыточно. Одна из целей программы обратной математики — выяснить, существуют ли области «основной математики», в которых фундаментальные вопросы могут вновь спровоцировать кризис.