Кіріспе

Гильберт пен Бернейдің "Математика негіздері" кітабы – математиканың философиялық, логикалық және/немесе алгоритмдік негіздерін зерттеу, немесе кең мағынада, математиканың табиғатына қатысты философиялық теориялардың негізін құрайтын нәрсенің математикалық талдауы. Осы соңғы мағынада математика негіздері мен математика философиясы арасындағы шекара шартты болып шығады. Математика негіздерін негізгі математикалық ұғымдарды (жинақ, функция, геометриялық фигура, сан және т.б.) зерттеу ретінде қарастыруға болады, олар күрделі құрылымдар мен ұғымдардың иерархиясын қалай құрайтынын, әсіресе математиканың тілін құрайтын маңызды құрылымдарды (формулалар, теориялар және олардың модельдері, формулаларға мағына беретін анықтамалар, дәлелдемелер, алгоритмдер және т.б.) зерттеуге болады. Бұл метаматематикалық ұғымдар деп аталады, олар философиялық аспектілерге және математиканың біртұтастығына назар аударады. Математика негіздерін іздеу – математика философиясының орталық мәселесі; математикалық объектілердің абстрактілі табиғаты ерекше философиялық қиындықтар тудырады. Математика негіздері тұтастай алғанда, әрбір математикалық тақырыптың негіздерін қамтуға мұраттанбайды. Әдетте, зерттеу саласының негіздері оның ең негізгі ұғымдарының, тұжырымдамалық біртұтастығының және ұғымдардың табиғи ретінің немесе иерархиясының көмегімен, оны басқа да адам білімімен байланыстыруға мүмкіндік беретін, жүйелі талдауды білдіреді. Негіздердің дамуы, пайда болуы және нақтылануы бір саланың тарихында соңғы кезеңде жүруі мүмкін, және оны әркім де ең қызықты бөлігі деп санамайды. Математика ғылыми ойлауда ерекше рөл атқарады, ежелгі заманнан бері рационалды зерттеу үшін шындық пен қатаңдықтың үлгісі ретінде қызмет етеді, сондай-ақ басқа ғылымдарға (әсіресе физикаға) құралдарды немесе тіпті негізді ұсынады. 19 ғасырда математиканың жоғары абстракцияларға қарай дамуы жаңа қиындықтар мен парадокстарды әкелді, математикалық шындықтың табиғаты мен критерийлерін тереңірек және жүйелі зерттеуді, сондай-ақ математиканың әртүрлі салаларын біртұтас жүйеге біріктіруді қажет етті. Математика негіздерін жүйелі іздеу 19 ғасырдың соңында басталды және математикалық логика деп аталатын жаңа математикалық пәннің пайда болуына әкелді, ол кейін теориялық информатикамен тығыз байланысты болды. Ол парадоксалды нәтижелерге байланысты дағдарыстар сериясынан өтті, бірақ 20 ғасырда көптеген аспектілері мен компоненттері бар (жинақтар теориясы, модельдер теориясы, дәлелдеу теориясы және т.б.) математикалық білімнің үлкен және үйлесімді жиынтығы ретінде тұрақталды. Оның егжей-тегжейлі қасиеттері мен мүмкін нұсқалары әлі де белсенді зерттеу саласы болып табылады. Оның жоғары техникалық деңгейі көптеген философтарды оның басқа ғылымдардың негіздері үшін үлгі немесе қалып ретінде қызмет ете алатыны туралы болжам жасауға итермеледі.

Ежелгі грек математикасы

Математиканың басқа өркениеттерде бұрын дамығанмен, оның теориялық және іргелі аспектілеріне ерекше қызығушылық Ежелгі гректердің еңбектерінде айқын байқалды. Ерте грек философтары арифметиканың немесе геометрияның қайсысы негізгі деп таласқан. Элеялық Зенон (б.з.д. 490 – 430 ж.) өзгерістің мүмкін еместігін көрсететін төрт парадокс жариялады. Пифагор мектебі бастапқыда тек табиғи және рационалды сандар ғана бар екенін қатыстыра түсті. Квадраттың диагоналы мен қабырғасы арақатынасының иррационалдығының ашылуы (б.з.д. 5 ғасыр шамасында) олар үшін шок болды және оны тек қанағаттандырумен қабылдады. Рационалды және нақты сандар арасындағы қарама-қайшылықты Платонның шәкірті Книдтік Евдокс (б.з.д. 408–355 ж.) ақыры шешті, ол екі иррационалды қатынасты салыстыруды оларға қатысты шамалардың еселіктерімен салыстыруға келтірді. Оның әдісі Ричард Дедекиндтің (1831–1916) нақты сандардың қазіргі заманғы анықтамасындағы Дедекинд кесуін көре білді. Аристотельдің (б.з.д. 384–322 жж.) "Соңғы талдауларында" бастапқы ұғымдар, аксиомалар, постулаттар, анықтамалар және теоремалар арқылы білім саласын логикалық тұрғыдан ұйымдастырудың аксиомалық әдісі жазылған. Аристотель осы әдіс үшін көптеген мысалдарды арифметикадан және геометриядан алды. Бұл әдіс Евклидтің "Элементтерінде" (б.з.д. 300 ж.) ең жоғары деңгейге жетті, бұл математикаға қатысты өте жоғары қатаңдық стандарттарымен құрылған трактат: Евклид әрбір ұсынысты сылбырлар тізбегі түріндегі дәлелдемелермен негіздейді (бірақ олар әрқашан Аристотельдің үлгілеріне қатаң сәйкес келмейді). Аристотельдің силогтық логикасы, Евклидтің "Элементтерінде" көрсетілген аксиомалық әдіспен бірге, ежелгі Грекияның ғылыми жетістіктері ретінде танылады.

Платоның математика философиясы

XIX ғасырдың соңынан бастап математикаға Платондық көзқарас практикалық математиктер арасында кеңінен таралды. Математиканың ұғымдары немесе, Платонистер айтуынша, объектілері абстрактілі және күнделікті сезімдік тәжірибеден алыс: геометриялық фигуралар нақты сызулар мен заттардың пішіндерінен ерекшеленетін идеалды түрінде қарастырылады, ал сандар нақты объектілерді санаумен шатастырылмайды. Олардың болуы мен мәні ерекше философиялық мәселелер туғызады: математикалық объектілер олардың нақты бейнесінен қалай өзгешеленеді? Олар бейнеде, біздің санамызда, әлде басқа жерде орналасқан ба? Біз оларды қалай тануға болады? Ежелгі грек философтары мұндай сұрақтарға өте мән берді. Шындығында, олардың көптеген жалпы философиялық талқылаулары геометрия мен арифметикаға кеңінен сілтеме жасап жүргізілді. Платон (б.з.д. 424/423 – 348/347 жж.) математикалық объектілердің, басқа платондық идеялар сияқты (түрлер немесе мәндік сипаттар), толығымен абстрактілі болуы керек және математикалық объектілердің адамнан тәуелсіз әлемінде жеке, материалдық емес түрде өмір сүруі керек деп талап етті. Ол осы объектілер туралы шындықтар да адам санасынан тәуелсіз, бірақ адамдар тарапынан ашылатынына сенді. Платонның «Менон» еңбегінде оның ұстазы Сократ осы шындықты есте сақтау процесіне ұқсас арқылы білуге болады деп мәлімдейді. Платон академиясының қақпасының үстінде «Геометрияны білмейтін ешкім кірмесін» деген танымал жазу орналасқан. Осылайша Платон геометрияға деген құрметін білдірді. Ол геометрияны «философтарды даярлаудағы ең алғашқы және маңызды» деп санады, оның абстрактілі сипатына байланысты. Бұл платондық математикалық реализм философиясын көптеген математиктер бөліседі. Кейбір авторлар платонизм математикалық жұмыстың кез келген негізінде қажетті болжам ретінде келеді деп санайды. Бұл көзқарас бойынша, табиғат заңдары мен математика заңдары ұқсас мәртебеге ие, ал тиімділік ақылға сыймайтындықтан тоқтатылады. Біздің аксиомаларымыз емес, математикалық объектілердің нақты әлемі негіз құрайды. Аристотель бұл көзқарасты «Метафизика» еңбегінде талдап, жоққа шығарды. Бұл мәселелер философиялық талдау мен пікірталасқа көп мүмкіндік береді.

Орта ғасырлар мен қайта өрлеу дәуірі

2000 жылдан астам уақыт бойы Евклидтің "Элементтері" математиканың берік негізі болып келді, өйткені оның рационалды зерттеу әдістемесі математиктерді, философтарды және ғалымдарды 19 ғасырға дейін басшылыққа алды. Орта ғасырларда универсалдардың онтологиялық мәртебесі туралы пікір таласы болды (платондық идеялар): реализм олардың қабылдаудан тәуелсіз бар екенін айтты; концептуализм олардың тек санада ғана бар екенін айтты; номинализм оларды жоққа шығарды, универсалдарды жеке объектілер жинағының атаулары ретінде қарастырды (бұл бұрынғы болжамдарға сәйкес, олар сөздер, "логостар" екендігі туралы). Рене Декарт 1637 жылы "La Géométrie" атты еңбегін жариялады, оның мақсаты координаталық жүйелер арқылы геометрияны алгебраға келтіру болды, соның арқасында алгебраға негізгі рөл берілді (ал гректер қазіргі кезде нақты сандар деп аталатын сандарды анықтау үшін ұзындықты пайдаланды). Декарттың кітабы 1649 жылдан кейін танымал болды және шексіз кішкентай есептеуге жол ашты. Англияда Исаак Ньютон (1642–1727) және Германияда Лейбниц (1646–1716) жаңа негіздерді қажет ететін базада шексіз кішкентай есептеуді тәуелсіз түрде жасады. Атап айтқанда, Лейбниц шексіз кішкентай шамаларды нөлге шексіз жақын сандар деп сипаттады, бұл тұжырым математиканың бұрынғы негіздік құрылымына сәйкес келмеді және 20 ғасырға дейін формалдануға ие болған жоқ. Шексіз кішкентай есептеудің математика негіздеріне тигізген күшті әсерін протестант философ Джордж Берклидің (1685–1753) жазбасы көрсетеді, ол былай деп жазды: "[Шексіз кішкентай шамалар] сонымен қатар шекті де, шексіз кішкентай да емес, тіпті ештеңе де емес. Оларды кеткен шамалардың көлеңкесі деп атауымызға бола ма?". Лейбниц логика бойынша да жұмыс істеді, бірақ оның көптеген жазбалары 1903 жылға дейін жарияланбады. Келесі ғасырларда математика физикалық қолдануда өте жылдам және сәтті дамыды.

19 ғасыр

XIX ғасырда математика көбірек абстрактілі болды. Түрлі салалардағы логикалық кемшіліктер мен үйлесімсіздіктерге алаңдаушылық аксиоматикалық жүйелерді қалыптастыруға себеп болды.

Нақты талдау

Коши (1789–1857) бұрынғы авторлар қолданған алгебраның жалпылығының эвристикалық принципін қабылдамай, шексіз шағын есептеу теоремаларын қатаң түрде тұжырымдау және дәлелдеу жобасын бастады. 1821 жылғы «Cours d'Analyse» еңбегінде ол үздіксіздікті анықтау үшін қолданған 0-ге жақындайтын төмендеу тізбектер арқылы шексіз кіші шамаларды анықтайды. Бірақ ол конвергенция туралы түсінігін формалдамады. Қазіргі заманғы (ε, δ) лимит және үздіксіз функциялардың анықтамасын алғаш рет 1817 жылы Болцано жасаған, бірақ ол салыстырмалы түрде белгісіз болып қалды. Бұл нақты сандар жиынына негізделген шексіз шағын есептеудің қатаң негізін береді, және бұл, мүмкін, Зеноның парадокстарын және Берклидің аргументтерін шешеді. Карл Вейерштрасс (1815–1897) сияқты математиктер үздіксіз, еш жерде туындысы жоқ функциялар сияқты патологиялық функцияларды ашты. Функцияны есептеу ережесі немесе тегіс график ретіндегі бұрынғы түсініктер енді жеткіліксіз болды. Вейерштрасс талдауды арифметикалық тұрғыдан қарастыруды, табиғи сандардың қасиеттерін пайдаланып талдауды аксиомалауды жақтады. 1858 жылы Дедекинд рационал сандардың бөліністері ретінде нақты сандардың анықтамасын ұсынды. Рационал сандар және осы арқылы табиғи сандар тұрғысынан нақты сандар мен үздіксіз функцияларды қарастыруды кейінірек Кантор өзінің жиын теориясына енгізді және Хилберт пен Бернейс екінші реттік арифметика арқылы аксиомалады.

Топтық теория

Алғаш рет математиканың шектері зерттелді. Норвегиялық Нильс Хенрик Абель (1802–1829) және француз Эварист Галуа (1811–1832) әртүрлі полиномиялық теңдеулердің шешімдерін зерттеді және төртінші дәрежеден жоғары теңдеулерге жалпы алгебралық шешімнің жоқ екенін дәлелдеді (Абель–Руффини теоремасы). Осы тұжырымдармен Пьер Вантцель (1837) тек қана сызғыш пен циркульдің кез келген бұрышты үш бөлікке бөле алмайтынын және текшенің көлемін екі есеге арттыра алмайтынын дәлелдеді. 1882 жылы Линдеманн, Гермиттың еңбектеріне сүйене отырып, шеңбердің сызғыш пен циркуль арқылы квадратурасын (берілген шеңберге тең ауданы бар шаршыны салу) π санының трансцендентті сан екенін дәлелдеу арқылы да мүмкін емес екенін көрсетті. Математиктер бұл мәселелерді ежелгі гректер заманынан бері шешуге тырысып, нәтижеге қол жеткізе алмады. Абель мен Галуаның еңбектері топтар теориясының (кейін физика және басқа салаларда симметрияны зерттеу үшін қолданылатын) және абстрактілі алгебраның дамуына жол ашты. Векторлық кеңістіктер туралы түсініктер 1827 жылы Мёбиус ұсынған барицентрлік координаттардан басталып, 1888 жылы Пьяно берген векторлық кеңістіктер мен сызықтық түрлендірулердің қазіргі заманғы анықтамасына дейін жетті. Геометрия енді үш өлшеммен ғана шектелмеді. Бұл ұғымдар сандарды жалпыламаған, бірақ әлі ресмиленбеген функциялар мен жиынтықтардың ұғымдарын біріктіріп, таныс математикалық объектілерден өзгеше бағыт алды.

Евклидтік емес геометриялар

Параллельдік постулатты басқа аксиомалардан шығаруға жасалған көптеген сәтсіз тырастардан кейін, Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) әлі де болжамдық гиперболалық геометрияны зерттеу арқылы гиперболалық функцияларды енгізіп, гиперболалық үшбұрыштың ауданын есептеді (мұнда бұрыштардың қосындысы 180°-тан кем). Содан кейін орыс математигі Николай Лобачевский (1792–1856) 1826 жылы (ал 1829 жылы жариялады) осы геометрияның дұрыстығын (яғни параллельдік постулаттың тәуелсіздігін) венгр математигі Янош Болаймен (1802–1860) 1832 жылы және Гаусспен бірдей орнатып көрсетті. Кейін 19 ғасырда неміс математигі Бернхард Риман параллель табу мүмкін емес және үшбұрыштағы бұрыштардың қосындысы 180°-тан асатын тағы бір евклидтік емес геометрия – эллиптикалық геометрияны жасады. Бұл геометрияны белгілі бір сферадағы антиподальдік нүктелер жұбын және сферадағы үлкен шеңберді нүкте және түзу деп анықтау арқылы дұрыс екені дәлелденді. Сол кезде аксиомалар жиынтығының дұрыстығын дәлелдеудің басты әдісі оған модель ұсыну болып табылды.

Жобалау геометриясы

Дедуктивті жүйенің тұзақтарының бірі – шеңберлі ойлау, бұл проблема Карл фон Штаудт шешкенге дейін проективті геометрияға ұқсас қиындық тудырған. Орыс тарихшыларының түсіндіруінше:

XIX ғасырдың ортасында проективті геометрияда синтетикалық және аналитикалық әдістерді қолдайтындар арасында қызу дау болды, екі тарап та бір-бірін проективті және метрикалық ұғымдарды шатастырды деп айыптады. Шындығында, проективті геометрияны синтетикалық түрде ұсынуда қолданылатын негізгі ұғым – түзудің төрт нүктесінің қиылысқан қатынасы, ал ол аралықтардың ұзындығын қарастыру арқылы енгізілген. Фон Штаудттың таза геометриялық тәсілі проективті гармониялық қосымшалардың арақатынасын білдіру үшін толық төртбұрышқа негізделген. Содан кейін ол өзінің "Лақтыру алгебрасы" арқылы белгілі сандық қасиеттерді білдіру құралын жасады. Бұл процесс ағылшын тілінде Освальд Веблен мен Джон Янгтың "Проективті геометрия" (1938) кітабында немесе жақында Джон Стилвеллдің "Геометрияның төрт тірегі" (2005) еңбегінде кездеседі. Стилвелл 120-бетте былай жазады:

Проективті геометрия белгілі бір жағынан алгебрадан қарапайым, себебі біз тоғыз өріс аксиомасын алу үшін тек бес геометриялық аксиоманы қолданамыз. Лақтыру алгебрасы көбінесе қиылысқан қатынастардың бір бөлігі ретінде қарастырылады, өйткені студенттер әдетте олардың негізін ойламай сандарға сенеді. Дегенмен, қиылысқан қатынастарды есептеу геометрияның метрикалық ерекшеліктерін пайдаланады, ал олар таза геометрия жақтастары үшін қабылдауға қиын. Мысалы, 1961 жылы Коксетер "Геометрияға кіріспе" еңбегін жазғанда қиылысқан қатынасты атап көрсетпеген.

Буль алгебрасы мен логикасы

Математиканы формалды түрде қарастыруға жасалған әрекеттер Лейбниц және Ламбертпен (1728–1777) басталды, ал Джордж Пикок (1791–1858) сияқты алгебраистердің еңбектерімен жалғасты. Логиканың жүйелі математикалық талдауы британдық математик Джордж Бульмен (1847) келді, ол көп ұзамай Буль алгебрасы деп аталатын алгебраны құрастырды, онда бар болғаны 0 және 1 сандары болды, ал логикалық комбинациялар (конъюнкция, дизъюнкция, импликация және жоққа шығару) – бүтін сандардың қосылуы және көбейтілуіне ұқсас амалдар. Сонымен қатар, Де Морган 1847 жылы өзінің заңдарын жариялады. Осылайша логика математиканың бір саласы болды. Буль алгебрасы математикалық логиканың бастапқы нүктесі болып табылады және компьютерлік ғылымда маңызды қолданысқа ие. Чарльз Сандерс Пирс Бульдің жұмысына сүйене отырып, қатынастар мен кванторлар үшін логикалық жүйені жасады, оны 1870–1885 жылдар аралығында бірнеше мақаласында жариялады. Неміс математигі Готтлоб Фреге (1848–1925) 1879 жылы жарық көрген «Begriffsschrift» (формула тілі) еңбегінде кванторлары бар логиканың тәуелсіз дамуын ұсынды, бұл еңбек логика тарихындағы шешімді момент ретінде қарастырылады. Ол Аристотельдің логикасындағы кемшіліктерді көрсетті және математикалық теорияның үш күтілетін қасиетін атап өтті:

Тұрақтылық: қарама-қайшылық тудыратын еңбектерді дәлелдеу мүмкін емес. Толықтық: кез келген еңбек немесе дәлелденеді, немесе жоққа шығарылады (яғни оның жоқтығы дәлелденеді). Шешімділік: теориядағы кез келген еңбекке тексеру үшін шешім қабылдау процедурасы бар. Содан кейін ол «Grundgesetze der Arithmetik» (Арифметиканың негізгі заңдары) еңбегінде арифметиканың оның жаңа логикасында қалай формалдануын көрсетті. Фреге еңбегін ғасыр басында Бертран Рассел танымал етті. Бірақ Фрегедің екі өлшемді нотациясы сәттілікке жетпеді. Джузеппе Пеано мен Уильям Эрнест Джонсоннан бастап, универсалды үшін (x) және экзистенциалды үшін (∃x) белгілері қолданылды, Герхард Гентцен 1935 жылы ∀ символын енгізгенге дейін және ол 1960 жылдары канондық болып табылды. 1890–1905 жылдары Эрнст Шредер «Vorlesungen über die Algebra der Logik» атты үш томдық лекцияларын жариялады. Бұл еңбек Буль, Де Морган және Пирстің еңбектерін жинақтап, кеңейтті және 19 ғасырдың соңында түсінілгендей, символдық логикаға толық сілтеме болып табылды.

Пеано арифметикалық әдісі

Арифметиканы (натурал сандар теориясын) аксиоматикалық теория ретінде ресмилендіру 1881 жылы Пирс бастап, 1888 жылы Ричард Дедекинд пен Джузеппе Пеано жалғастырды. Бұл әлі екінші реттік аксиоматизация болды (индукцияны кез келген ішкі жиынтықтар арқылы көрсету, демек жиын теориясын жасырын түрде қолдану), себебі теорияларды бірінші реттік логикада жазу мүмкіндігі одан әлі толық түсініксіз болды. Дедекиндтің еңбегінде бұл тәсіл натурал сандарды толыққанды сипаттап, ізбасар функциясы мен математикалық индукциядан қосу және көбейтудің рекурсивті анықтамаларын ұсынады.

Философиялық көзқарастар

20 ғасырдың басында математика философиясының үш мектебі қарама-қарсы болды: формализм, интуиционизм және логицизм. 1930 жылы Кенигсберг қаласында өткен нақты ғылымдар эпистемологиясының екінші конференциясы осы үш мектепке мүмкіндік берді.

Формализм

Формалистер, мысалы, Дэвид Гилберт (1862–1943), математиканың тек тіл және ойындар сериясі екенін айтады. Шындығында, ол 1927 жылы Л. Э. Браувердің сын-пікірлеріне жауабында «формула ойыны» деген сөздерді қолданды:

«Осылайша мүмкін болған формула ойыны қаншалықты табысты болды?» Бұл формула ойыны математика ғылымының барлық ой мазмұнын біркелкі түрде бейнелеуге және жеке ұғымдар мен фактілер арасындағы байланысты анықтайтын етіп дамытуға мүмкіндік береді. Браувер осы формула ойынына наразы болғанымен, оның математикалық құндылығынан өзге, маңызды философиялық мәні де бар. Өйткені бұл формула ойыны белгілі бір нақты ережелерге сәйкес жүзеге асырылады, ол біздің ойлау әдісін көрсетеді. Бұл ережелер жабық жүйе құрайды, оны анықтауға және нақты тұжырымдауға болады. Осылайша, Гилберт математиканың кездейсоқ ережелері бар кездейсоқ ойын емес екенін айтады; ол біздің ойлау, содан кейін сөйлеу және жазу процесімен сәйкес болуы керек. Дэвид Гилберт мысалға келтірген формализмнің іргелі философиясы жиынтық теориясының парадокстарына жауап ретінде пайда болды және формальды логикаға негізделген. Бүгінгі таңда математикалық теоремалардың барлығы дерлік жиынтық теориясының теоремалары ретінде тұжырымдалады. Осы көзқарас бойынша математикалық тұжырымның шындығы – бұл тұжырымның формальды логика ережелерін қолдана отырып, жиынтық теориясының аксиомаларынан шығарылуы. Бірақ тек формализмді қолдану ғана бірнеше мәселені түсіндіре алмайды: неліктен біз осы аксиомаларды таңдаймыз, басқаларын емес, неліктен осы логикалық ережелерді қолданамыз, басқаларын емес, неліктен «нағыз» математикалық тұжырымдар (мысалы, арифметика заңдары) дұрыс сияқты көрінеді және т.б. Герман Вейль осы сұрақтарды Гилбертке қойды:

«Бұл теориялық құрылымның, берілгеннен әлдеқайда асып түсетін әлемге қатысты, қандай «ақиқаты» немесе объективтілігі болуы мүмкін?» – бұл терең философиялық мәселе. Бұл мәселе келесі сұрақпен тығыз байланысты: бізді неліктен дәл Гилберт дамытқан аксиомалар жүйесін негізге алуға итермелейді? Тұрақтылық – қажетті, бірақ жеткілікті шарт емес. Қазіргі уақытта біз бұл сұраққа жауап бере алмаймыз.

Кейбір жағдайларда кері математика және есептеу күрделілігі теориясы сияқты салалардағы формальды теорияларды зерттеу арқылы осы сұрақтарға жауап беру жеткілікті болуы мүмкін. Вейль атап өткендей, формальды логикалық жүйелер де сәйкессіздік қаупіне ұшырайды; Пеано арифметикасында бұл мәселе бірнеше дәлелдермен шешілген, бірақ олардың мағыналы болуы үшін жеткілікті шекті болуы туралы пікірталас жалғасуда. Гёдельдің екінші толық еместік теоремасы арифметиканың логикалық жүйелері өздерінің тұрақтылығының дұрыс дәлелін ешқашан қамтымайтынын көрсетеді. Гилберт логикалық жүйе S-нің тұрақтылығын S-тің кішкентай бөлігін құрайтын P принциптеріне негізделген дәлелдер арқылы көрсетуді қалаған. Бірақ Гёдель P принциптері тіпті P-нің өзінің тұрақтылығын дәлелдей алмайтынын көрсетті, S-ті айтпағанда.

Интуиционизм

Интуиционистер, мысалы, Л. Э. Ж. Браувер (1882–1966), математиканың адам ақылының туындысы екенін айтады. Сандар, ертегілердегі кейіпкерлер сияқты, тек ақылдағы ұғымдар ғана, егер олар туралы ойлайтын адам ақылы болмаса, олар мүлде болмас еді. Интуиционизмнің немесе конструктивизмнің негізгі философиясы, Браувер мен Стивен Клиннің еңбегінде көргендей, дәлелдердің "құрылымдық" болуын талап етеді – бір объектінің бар екендігі оның болмауы мүмкін емес екенін көрсету арқылы емес, тікелей дәлелденуі керек. Мысалы, осының салдарынан "қарсылыққа келтіру" (reductio ad absurdum) тәсілімен дәлелдеу күмәнді саналады. Математика философиясының кейбір қазіргі заманғы теориялары бастапқы мағынадағы негіздердің бар екенін жоққа шығарады. Кейбір теориялар математикалық тәжірибеге ден қойып, математиктердің әлеуметтік топ ретіндегі жұмысын сипаттауға және талдауға бағытталған. Ал басқалары математиканың нақты әлемге қолданылғандағы сенімділігінің бастауы ретінде адам танымын қарастырып, математиканың танымдық ғылымын құруға тырысады. Бұл теориялар негізді тек адам ойында ғана, ешқандай объективті сыртқы құрылымда емес, табуды ұсынады. Бұл мәселе әлі де пікір таласына түсіп жатыр.

Логикалық

Логицизм – математика философиясындағы ой мектебі және зерттеу бағдарламасы, математиканың логиканың кеңейтілуі немесе математиканың кейбір немесе барлық бөлігі аксиомалары мен шешінділер ережелері табиғатынан "логикалық" болатын сәйкес формальды жүйеде туындатылуы мүмкін деген тезиске негізделген. Бертран Рассел мен Альфред Норт Уайтхед Готтлоб Фреге бастаған және Ричард Дедекиндтің ықпалына ұшыраған осы теорияны жақтады.

Жинақ теориясы платонизмі

Көптеген зерттеушілер аксиоматикалық жиын теориясында жиын теориялық платонизмді қолдайды, оның көрнекті мысалы Курт Гёдель. Көптеген жиын теорияшылары осы тәсілді ұстанды және эвристикалық негізделерде шын деп есептелетін және континуум гипотезасын шешетін аксиомаларды іздеумен белсенді айналысты. Көптеген ірі кардинал аксиомалары зерттелді, бірақ гипотеза олардан тәуелсіз болып қала берді және қазір CH жаңа ірі кардинал аксиомасымен шешілуі екіталай деп саналады. Аксиомалардың басқа түрлері де қарастырылды, бірақ олардың ешқайсысы континуум гипотезасы бойынша бірлікке келген жоқ. Хамкинстің соңғы жұмысы одан да икемді баламаны ұсынады: континуум гипотезасын қанағаттандыратын және қанағаттандырмайтын жиын теориялық әлемдер арасында еркін өтуге мүмкіндік беретін жиын теориялық көпжағат.

Гёдельдің толық теоремасының философиялық салдары

Гёдельдің толық теоремасы бірінші реттік логикада формуланың формалды дәлелдемелігі мен оның барлық мүмкін модельдердегі шындығы арасындағы эквиваленттілікті орнатады. Нақты айтқанда, кез келген дәйекті бірінші реттік теория үшін ол теориямен сипатталған модельдің «нақты құрылысын» береді; теорияның тілі санауға болатын болса, бұл модель де санауға болады. Дегенмен, бұл «нақты құрылыс» алгоритмдік емес. Ол теорияны толықтырудың итеративтік процесіне негізделген, онда итерацияның әр қадамы теорияны дәйекті сақтайтын болса, аксиомаларға формула қосудан тұрады; бірақ бұл дәйектілік мәселесі тек жартылай шешіледі (келіспеушіліктерді табуға алгоритм бар, бірақ егер олар болмаса, бұл дәйектілік фактісі дәлелденбей қалуы мүмкін). Бұл математикалық теорияларымыздың объектілерінің шын екендігіне қатысты Платондық көзқарасты негіздеуге көмектеседі. Нақтырақ айтқанда, ол табиғи сандар жиынтығының толықтығы (нақты шексіздік) кез келген дәйекті теорияның моделінің (объектілер әлемі) бар екенін білдіруге жеткілікті екенін көрсетеді. Алайда, бірнеше қиындықтар бар: кез келген дәйекті теория үшін бұл көбінесе бір ғана объектілер әлемін емес, теория бірдей сипаттауы мүмкін әлемдердің шексіздігін береді, олардың арасындағы шындықтардың әртүрлі болуы мүмкін. Жинақтар теориясының жағдайында, осы құрылым арқылы алынған модельдердің ешқайсысы жоспарланған модельге ұқсамайды, себебі олар санаулы, ал жинақтар теориясы санаусыз шексіздікті сипаттауға бағытталған. Осыған ұқсас пікірлер көптеген басқа жағдайларда да айтылуы мүмкін. Мысалы, арифметиканы қамтитын теориялар үшін, мұндай құрылымдар көбінесе стандартты емес сандарды қамтитын модельдерді береді, егер құрылым әдісі оларды болдырмау үшін арнайы жасалмаса. Ол барлық дәйекті теорияларға ешқандай айырмашылықсыз модельдер бергендіктен, теория дәйекті болып қала бергенше, кез келген аксиоманы қабылдау немесе қабылдамау үшін ешқандай себеп бермейді, бірақ барлық дәйекті аксиомалық теорияларды бірдей бар әлемдерге сілтеме ретінде қарастырады. Математиканың негізі ретінде қай аксиомалық жүйені басымдықпен қарау керектігі туралы ешқандай нұсқау бермейді. Дәйектілік туралы талаптарды дәлелдеу көбінесе мүмкін емес болғандықтан, олар сенім мәселесі немесе жеткіліксіз негізделген түсіндірулер болып қалады. Сондықтан, толықтық теоремасымен берілген модельдердің болуы, шын мәнінде, екі философиялық қағидаға тәуелді: табиғи сандардың нақты шексіздігі және теорияның дәйектілігі. Толықтық теоремасының тағы бір салдары – ол стандартты емес модельдердің стандартты модельдермен тең дәрежеде заңды екендігіне негізделген, шексіз кішкентай нөлдік емес шамалар ретінде шексіз кішкентайлардың тұжырымдамасын ақталады. Бұл идеяны Абрахам Робинсон стандартты емес талдау теориясына формалды түрде енгізді.

Тағы да парадокстар

Келесі тізімде метаматематикадағы маңызды нәтижелер келтірілген. Зермело-Франкель жиынтық теориясы – жиынтық теориясының ең көп зерттелген аксиомалық жүйесі. Ол таңдау аксиомасын қамтитын жағдайда ZFC, ал таңдау аксиомасы жоқ болса ZF деп белгіленеді. 1920: Торалф Сколем Леопольд Лёвенхаймнің дәлелін түзетеді, бұл қазір төмен қарай Лёвенхайм-Сколем теоремасы деп аталады. Бұл 1922 жылы талқыланған Сколемнің парадоксына әкелді, атап айтқанда ZF-тің саналатын модельдерінің болуы, шексіз кардиналдылықты салыстырмалы қасиет етеді. 1922: Абрахам Френкель таңдау аксиомасының Зермело жиынтық теориясының аксиомаларынан шығарылмайтынын дәлелдейді. 1931: Гёдельдің толық емес теоремалары жарияланды, олар Гилберт бағдарламасының маңызды аспектілерін жүзеге асыру мүмкін емес екенін көрсетті. Ол кез келген жеткілікті күшті және дәйекті рекурсивті аксиомалық жүйе үшін, мысалы, арифметиканың элементар теориясын (шексіз) натурал сандар жиынында аксиомаға айналдыру үшін, өзінің дәлелденбеуін формалды түрде білдіретін тұжырымды қалай құрастыруға болатынын көрсетті, содан кейін ол тұжырымның теорияның дәйектілігіне тең екенін дәлелдеді; демек (егер дәйектілік дұрыс деп есептесек), жүйе өзінің дәйектілігін дәлелдеуге жеткілікті күшті емес, тіпті қарапайым жүйе де осы жұмысты атқара алмайды. Осылайша математикалық шындықтың ұғымын Гилберт бағдарламасында көзделгендей толық анықтауға және таза формальды жүйеге келтіруге болмайтыны анық болды. Бұл Гилберт бағдарламасының өзегіне соңғы соққы болды, дәйектілікті финитистік тәсілдермен орнатуға болатын үміт (қай аксиомалар "финитистік" екені нақты айтылмады, бірақ қандай аксиомалық жүйе болса да, ол дәйектілігін дәлелдеуге тиіс жүйеден "әлсіз" болды). 1936: Альфред Тарски өзінің шындықты анықтамау теоремасын дәлелдейді. 1936: Алан Тьюринг барлық мүмкін бағдарламалық кіріс жұптары үшін тоқтау мәселесін шешуге арналған жалпы алгоритмнің болмайтынын дәлелдейді. 1938: Гёдель таңдау аксиомасының және жалпыланған континуум гипотезасының дәйектілігін дәлелдейді. 1936–1937: Алонзо Черч және Алан Тьюринг, сәйкесінше, Entscheidungsproblem-ге жалпы шешім табу мүмкін емес екенін көрсететін тәуелсіз мақалалар жариялады: бірінші реттік логикадағы тұжырымдардың жалпы жарамдылығы шешілмейді (ол толықтық теоремасымен берілгендей жартылай шешіледі). 1955: Пётр Новиков G үшін сөз мәселесі шешілмейтін шекті ұсынылған G тобының бар екенін көрсетеді. 1963: Пол Коэн континуум гипотезасының ZFC-ден дәлелденбейтінін көрсетеді. Коэннің дәлелі мәжбүрлеу әдісін дамытты, ол қазір жиынтық теориясында тәуелсіздік нәтижелерін орнату үшін маңызды құрал болып табылады. 1964: Физикадағы негізгі кездейсоқтықтан шабыттанған Грегори Чейтин алгоритмикалық ақпарат теориясы бойынша (математикадағы толық емес және кездейсоқтықты өлшеу) нәтижелерді жариялай бастайды. 1966: Пол Коэн таңдау аксиомасының ZF-да тіпті урелементтерсіз де дәлелденбейтінін көрсетеді. 1970: Гилберттің оныншы мәселесі шешілмейтін болып дәлелденді: Диофанти теңдеуінің (көп айнымалы полиномдық теңдеудің) бүтін сандарда шешімі бар ма, жоқ па, оны шешу үшін рекурсивті шешім жоқ. 1971: Суслин мәселесінің ZFC-ден тәуелсіз екендігі дәлелденді.

Дағдарысты шешу жолы

1935 жылдан бастап француз математиктерінен құралған Бурбаки тобы жинақтар теориясының жаңа негіздерімен математиканың көптеген салаларын формалдау мақсатында кітаптар сериясын жариялай бастады. Интуиционистік мектеп көптеген жақтастарды тартпады, және конструктивтік математика 1967 жылы Бишоптың жұмысы арқылы ғана берік негізге орнатылды. Хилберт бағдарламасының ішінара орындалғанын қарастыруға болады, сондықтан дағдарыс негізінен шешілді, біз Хилберттің бастапқы мақсаттарына қарағанда төмен талаптармен қанағаттанамыз. Оның мақсаттары ештеңе анық болмаған кезде айтылды: математиканың қатаң негізі болуы мүмкін бе екені белгісіз еді. Жинақтар теориясының көптеген нұсқалары бар, олар дәйектілік күшімен ерекшеленеді, күшті нұсқалар (жоғары реттік шексіздіктерді постулаттайтын) әлсіз нұсқалардың дәйектілігінің формальды дәлелдерін қамтиды, бірақ ешқайсысының өзінің дәйектілігінің формальды дәлелі жоқ. Демек, бізде жоқ жалғыз нәрсе – біз қалай қаласақ сондай жинақтар теориясының, мысалы ZF-тің, дәйектілігінің формальды дәлелі. Іс жүзінде көптеген математиктер аксиоматикалық жүйелерден жұмыс істемейді, немесе жұмыс істесе де, олардың әдеттегі таңдауы болып табылатын ZFC-нің дәйектілігіне күмән келтірмейді. Математиканың көп бөлігінде негізгі формальды теориялардың толық еместігі мен парадокстары рөл атқармады, ал олар рөл атқаратын немесе формалдау әрекеттері сәйкессіз теорияларды құру қаупі бар салаларда (мысалы, логика және категориялар теориясы) олар мұқият қарастырылуы мүмкін. 20 ғасырдың ортасында категориялар теориясының дамуы ZFC-ге қарағанда үлкен кластардың болуын қамтамасыз ететін жинақтар теориясының пайдалылығын көрсетті, мысалы, Фон Нейман-Бернейс-Гёдель жинақтар теориясы немесе Тарски-Гротендик жинақтар теориясы, бірақ көптеген жағдайларда үлкен кардинал аксиомаларын немесе Гротендик ғаламдарын пайдалану формальды түрде алынып тасталады. Кері математика бағдарламасының бір мақсаты – «негізгі математика» аймақтарын анықтау, онда негізгі мәселелер дағдарысты қайтадан тудыруы мүмкін.