Введение
Матрица, коммутирующая со своей сопряжённой транспонированной.
In mathematics, a complex square matrix A is normal if it commutes with its conjugate transpose :
The concept of normal matrices can be extended to normal operators on infinite dimensional normed spaces and to normal elements in C* algebras. As in the matrix case, normality means commutativity is preserved, to the extent possible, in the noncommutative setting. This makes normal operators, and normal elements of C* algebras, more amenable to analysis. The spectral theorem states that a matrix is normal if and only if it is unitarily similar to a diagonal matrix, and therefore any matrix A satisfying the equation 1=A^(*)A = AA^(*) is diagonalizable. The converse does not hold because diagonalizable matrices may have non orthogonal eigenspaces. The left and right singular vectors in the singular value decomposition of a normal matrix differ only in complex phase from each other and from the corresponding eigenvectors, since the phase must be factored out of the eigenvalues to form singular values.
В математике комплексная квадратная матрица A называется нормальной, если она коммутирует со своей сопряжённой транспонированной:
In mathematics, a complex square matrix A is normal if it commutes with its conjugate transpose :
The concept of normal matrices can be extended to normal operators on infinite dimensional normed spaces and to normal elements in C* algebras. As in the matrix case, normality means commutativity is preserved, to the extent possible, in the noncommutative setting. This makes normal operators, and normal elements of C* algebras, more amenable to analysis. The spectral theorem states that a matrix is normal if and only if it is unitarily similar to a diagonal matrix, and therefore any matrix A satisfying the equation 1=A^(*)A = AA^(*) is diagonalizable. The converse does not hold because diagonalizable matrices may have non orthogonal eigenspaces. The left and right singular vectors in the singular value decomposition of a normal matrix differ only in complex phase from each other and from the corresponding eigenvectors, since the phase must be factored out of the eigenvalues to form singular values.
Понятие нормальных матриц может быть расширено на нормальные операторы в бесконечномерных нормированных пространствах и на нормальные элементы в C*-алгебрах. Как и в случае матриц, нормальность означает, что коммутативность сохраняется, насколько это возможно, в некоммутативном контексте. Это делает нормальные операторы и нормальные элементы C*-алгебр более удобными для анализа. Спектральная теорема утверждает, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице, и, следовательно, любая матрица A, удовлетворяющая уравнению 1 = A*A = AA*, является диагонализуемой. Обратное неверно, поскольку диагонализуемые матрицы могут иметь неортогональные собственные подпространства. Левые и правые сингулярные векторы в сингулярном разложении нормальной матрицы отличаются друг от друга и от соответствующих собственных векторов только комплексным множителем по фазе, поскольку фазу необходимо исключить из собственных значений для формирования сингулярных значений.
In mathematics, a complex square matrix A is normal if it commutes with its conjugate transpose :
The concept of normal matrices can be extended to normal operators on infinite dimensional normed spaces and to normal elements in C* algebras. As in the matrix case, normality means commutativity is preserved, to the extent possible, in the noncommutative setting. This makes normal operators, and normal elements of C* algebras, more amenable to analysis. The spectral theorem states that a matrix is normal if and only if it is unitarily similar to a diagonal matrix, and therefore any matrix A satisfying the equation 1=A^(*)A = AA^(*) is diagonalizable. The converse does not hold because diagonalizable matrices may have non orthogonal eigenspaces. The left and right singular vectors in the singular value decomposition of a normal matrix differ only in complex phase from each other and from the corresponding eigenvectors, since the phase must be factored out of the eigenvalues to form singular values.
Эквивалентные определения
Можно привести довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть A – комплексная матрица размера n × n. Тогда эквивалентны следующие утверждения: A нормальна. A диагонализуема унитарной матрицей. Существует набор собственных векторов A, образующий ортонормальный базис для Cⁿ. Для любого вектора x. Норма Фробениуса A может быть вычислена через собственные значения A: Гермитова часть и косоэрмитова часть A коммутируют. A* является полиномом (степени ≤ n − 1) от A. A* = AU для некоторой унитарной матрицы U. U и P коммутируют, где A = UP – полярное разложение, U – унитарная матрица, а P – положительно полуопределённая матрица. A коммутирует с некоторой нормальной матрицей N с различными собственными значениями. Для всех 1 ≤ i ≤ n, где A имеет сингулярные значения σ₁ ≥ σ₂ ≥ … ≥ σₙ и собственные значения, индексированные определённым образом. Некоторые, но не все из вышеперечисленных утверждений обобщаются на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9), является лишь квазинормальным.
A is normal. A is diagonalizable by a unitary matrix. There exists a set of eigenvectors of A which forms an orthonormal basis for 'C'^(n). for every 'x'. The Frobenius norm of A can be computed by the eigenvalues of A: The Hermitian part and skew Hermitian part of A commute. A^(*) is a polynomial (of degree ≤ n − 1) in A. 1=A^(*) = AU for some unitary matrix U.
U and P commute, where we have the polar decomposition 1=A = UP with a unitary matrix U and some positive semidefinite matrix P.
A commutes with some normal matrix N with distinct eigenvalues. for all 1 ≤ i ≤ n where A has singular values σ1 ≥ ⋯ ≥ σn and has eigenvalues that are indexed with ordering
Some but not all of the above generalize to normal operators on infinite dimensional Hilbert spaces. For example, a bounded operator satisfying (9) is only quasinormal.