Кіріспе
Математикада, кешенді квадраттық матрица А, егер ол өзінің түйінделген транспозымен (конугат транспозымен) коммутацияласа, қалыпты деп аталады:
In mathematics, a complex square matrix A is normal if it commutes with its conjugate transpose :
Қалыпты матрицалар туралы ұғымды шексіз өлшемді нормаланған кеңістіктердегі қалыпты операторларға және C* алгебраларындағы қалыпты элементтерге кеңейтуге болады. Матрицалық жағдайдағыдай, қалыптылық коммутативтіліктің, мүмкіндігінше, коммутативті емес жағдайда сақталуын білдіреді. Бұл қалыпты операторларды және C* алгебраларының қалыпты элементтерін талдауды жеңілдетеді. Спектрлік теоремаға сәйкес, матрица бірлікке теңдей ұқсас болса ғана қалыпты болады, демек, 1=A^(*)A = AA^(*) теңдеуін қанағаттандыратын кез келген А матрицасы диагональды болады. Керісінше, диагональды матрицалардың ортогональды емес өзіндік кеңістіктері болуы мүмкін. Қалыпты матрицаның жеке мәнінің жіктелуінде (ыдырауында) сол және оң жеке векторлар бір-бірінен және сәйкес өзіндік векторлардан тек кешенді фазамен ғана ерекшеленеді, себебі жеке мәндерді құру үшін фазаны өзіндік мәндерден бөліп алу қажет.
Теңдес анықтамалар
Нормалды матрицаның эквивалентті анықтамаларының үлкен тізімін беруге болады. A n × n кешенді матрицасын қарастырайық. Онда келесі шарттар эквивалентті: A – нормальды. A бірлік матрица арқылы диагональға келтіріледі. A-ның өзіндік векторларының жиыны "C'^(n) үшін ортонрмальды базис құрайды. Кез келген x үшін. A-ның Фробениус нормасы A-ның өзіндік мәндері арқылы есептелуі мүмкін: A-ның гермиттік және қисайған гермиттік бөліктері өзгеріссіз болады. A^(*) – A-ның (дәрежесі ≤ n − 1) көпмүшесі. 1=A^(*) = AU, мұнда U – бірлік матрица. U және P өзгеріссіз болады, мұнда полярлық жіктелу 1=A = UP, U – бірлік матрица және P – оң жартылай белгілі матрица. A, ерекше өзіндік мәндері бар N нормальды матрицасымен өзгеріссіз болады. Барлық 1 ≤ i ≤ n үшін, A-ның σ1 ≥ … ≥ σn сингулярлық мәндері және реттелген өзіндік мәндері бар. Жоғарыдағы шарттардың кейбіреуі, бірақ барлығы емес, шексіз өлшемді Гильберт кеңістіктеріндегі нормальды операторларға жалпыланады. Мысалы, (9) шартын қанағаттандыратын шектеулі оператор тек квазинормальды болады.
A is normal. A is diagonalizable by a unitary matrix. There exists a set of eigenvectors of A which forms an orthonormal basis for 'C'^(n). for every 'x'. The Frobenius norm of A can be computed by the eigenvalues of A: The Hermitian part and skew Hermitian part of A commute. A^(*) is a polynomial (of degree ≤ n − 1) in A. 1=A^(*) = AU for some unitary matrix U.
U and P commute, where we have the polar decomposition 1=A = UP with a unitary matrix U and some positive semidefinite matrix P.
A commutes with some normal matrix N with distinct eigenvalues. for all 1 ≤ i ≤ n where A has singular values σ1 ≥ ⋯ ≥ σn and has eigenvalues that are indexed with ordering
Some but not all of the above generalize to normal operators on infinite dimensional Hilbert spaces. For example, a bounded operator satisfying (9) is only quasinormal.