Введение
Изучение самой математики
Метаматематика – это изучение самой математики математическими методами. Это изучение порождает метатеории, представляющие собой математические теории о других математических теориях. Акцент на метаматематике (и, возможно, само создание этого термина) связан с попыткой Давида Гильберта обосновать основы математики в начале XX века. Метаматематика предоставляет «строгий математический аппарат для исследования широкого спектра фундаментальных проблем математики и логики» (Клине 1952, с. 59). Важной особенностью метаматематики является её акцент на разграничении рассуждений внутри системы и рассуждений вне системы. Неформальным примером этого является отнесение утверждения «2+2=4» к математике, а утверждения «'2+2=4' истинно» – к метаматематике.
История
Метатеоремы о самой математике изначально стали выделяться из обычных математических теорем в XIX веке, чтобы сосредоточиться на так называемом фундаментальном кризисе математики. Парадокс Ричарда (Richard, 1905), касающийся определенных «определений» действительных чисел на английском языке, является примером противоречий, которые могут легко возникнуть, если не проводить различие между математикой и метаматематикой. Подобное можно сказать и о хорошо известном парадоксе Рассела (содержит ли множество всех множеств, которые не содержат себя, само себя?). Метаматематика была тесно связана с математической логикой, поэтому ранняя история этих двух областей в конце XIX и начале XX веков во многом совпадала. В последнее время математическая логика часто включает изучение новых областей чистой математики, таких как теория множеств, теория категорий, теория рекурсии и чистая теория моделей, которые не имеют непосредственного отношения к метаматематике. Серьезные метаматематические размышления начались с работ Готлоба Фреге, особенно его «Begriffsschrift», опубликованного в 1879 году. Дэвид Гильберт первым начал регулярно использовать термин «метаматематика» (см. программу Гильберта) в начале XX века. В его понимании это было близко к современной теории доказательств, в которой используются конечные методы для изучения различных аксиоматизированных математических теорем (Kleene, 1952, с. 55). Другие видные деятели в этой области включают Бертрана Рассела, Торальфа Сколема, Эмиля Поста, Алонзо Черча, Алана Тьюринга, Стивена Клине, Вилларда Куайна, Пола Бенасеррафа, Хилари Патнэма, Грегори Чейтина, Альфреда Тарского, Пола Коэна и Курта Гёделя. Сегодня металогика и метаматематика в значительной степени пересекаются, и обе они в академической среде существенно вошли в состав математической логики.
Открытие гиперболической геометрии
Открытие гиперболической геометрии имело важные философские последствия для метаматематики. До этого открытия существовала лишь одна геометрия и математика; идея о том, что может существовать другая геометрия, казалась невероятной. Говорят, что когда Гаус открыл гиперболическую геометрию, он не опубликовал ничего об этом из страха перед "возмущением невежд", которое могло бы подорвать его статус princeps mathematicorum (лат. "первого из математиков"). "Возмущению невежд" суждено было прийти и уйти, но оно дало импульс развитию метаматематики и значительному повышению математической строгости, аналитической философии и логики.
Терминология
Begriffsschrift (немецкий, приблизительно, "письмо понятий") – книга по логике Готлоба Фреге, опубликованная в 1879 году, и формальная система, представленная в этой книге. Begriffsschrift обычно переводится как "запись понятий" или "концептуальная нотация"; полное название книги определяет её как "формульный язык, смоделированный по образцу арифметики, чистого мышления". Мотивация Фреге к разработке его формального подхода к логике была схожа с мотивацией Лейбница к созданию его calculus ratiocinator (однако, в своем предисловии Фреге четко отрицает, что он достиг этой цели, а также что его основной целью было бы построение идеального языка, подобного языку Лейбница, что Фреге считает довольно сложной и идеалистической, но не невозможной задачей). Фреге впоследствии использовал свое логическое исчисление в своих исследованиях основ математики, которые он проводил в течение следующего четверти века.
Принципы математики
Principia Mathematica, или "PM", как её часто сокращают, была попыткой описать набор аксиом и правил вывода в символической логике, из которого в принципе можно было бы доказать все математические истины. Таким образом, этот амбициозный проект имеет большое значение в истории математики и философии, являясь одним из важнейших результатов веры в возможность реализации подобного предприятия. Однако в 1931 году теорема о неполноте Гёделя окончательно доказала, что PM, и вообще любая подобная попытка, никогда не сможет достичь этой цели: для любого набора аксиом и правил вывода, предназначенных для формализации математики, всегда найдутся математические истины, которые нельзя из них вывести. Одним из главных источников вдохновения и мотивации для PM была более ранняя работа Готлоба Фреге по логике, которая позволила Расселу обнаружить возможность построения парадоксальных множеств. PM стремилась избежать этой проблемы, запретив неограниченное создание произвольных множеств. Это было достигнуто путем замены понятия общего множества понятием иерархии множеств различных "типов", где множество определенного типа может содержать только множества строго более низких типов. Современная математика, однако, избегает парадоксов, подобных парадоксу Рассела, менее сложными способами, например, с помощью системы аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля.
Теорема о неполноте Гёделя
Теоремы о неполноте Гёделя — это две теоремы математической логики, устанавливающие присущие ограничения для всех, кроме самых тривиальных, аксиоматических систем, способных выполнять арифметические операции. Теоремы, доказанные Куртом Гёделем в 1931 году, имеют важное значение как для математической логики, так и для философии математики. Эти два результата широко, хотя и не единогласно, интерпретируются как доказательство невозможности программы Гильберта по нахождению полной и непротиворечивой системы аксиом для всей математики, давая отрицательный ответ на вторую проблему Гильберта. Первая теорема о неполноте утверждает, что любая непротиворечивая система аксиом, чьи теоремы могут быть перечислены с помощью "эффективной процедуры" (например, компьютерной программы, но это может быть любой алгоритм), не способна доказать все истинные утверждения об отношениях натуральных чисел (арифметики). Для любой такой системы всегда будут существовать утверждения о натуральных числах, которые истинны, но недоказуемы в рамках этой системы. Вторая теорема о неполноте, являющаяся расширением первой, показывает, что такая система не может доказать собственную непротиворечивость.
Неопределенность проблемы решения
Проблема Entscheidungsproblem (от нем. 'проблема решаемости') – задача, сформулированная Давидом Гильбертом в 1928 году. Проблема Entscheidungsproblem заключается в поиске алгоритма, который на вход принимает утверждение логики первого порядка (возможно, с конечным числом аксиом, дополняющих стандартные аксиомы логики первого порядка) и отвечает "Да" или "Нет" в зависимости от того, является ли утверждение общезначимым, то есть истинным во всех структурах, удовлетворяющих данным аксиомам. В силу теоремы о полноте логики первого порядка, утверждение общезначимо тогда и только тогда, когда оно выводимо из аксиом, поэтому проблема Entscheidungsproblem может также рассматриваться как поиск алгоритма, определяющего, является ли данное утверждение доказуемым из аксиом с помощью правил логики. В 1936 году Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг независимо друг от друга опубликовали работы, показывающие, что общего решения проблемы Entscheidungsproblem не существует, при условии, что интуитивное понятие "эффективно вычислимого" соответствует функциям, вычислимым машиной Тьюринга (или, эквивалентно, представимым в лямбда-исчислении). Это предположение известно как тезис Чёрча — Тьюринга.