Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математиканың өзін зерттеу
Study of mathematics itself
Метаматематика – математикалық әдістерді пайдалана отырып, математиканың өзін зерттеу. Бұл зерттеулер математикалық теориялардың басқа математикалық теориялар туралы теориялары болып табылатын метатеорияларды тудырады. Метаматематикаға назар аудару (немесе тіпті осы терминнің пайда болуы) 20 ғасырдың басында Дэвид Гилберттің математиканың негізін нығайтуға жасаған әрекеттерімен байланысты. Метаматематика «математика мен логиканың көптеген негізгі мәселелерін зерттеу үшін қатаң математикалық техниканы» ұсынады (Клине, 1952, 59-бет). Метаматематиканың маңызды ерекшелігі – жүйе ішіндегі және жүйеден тыс логикалық ойлауды ажыратуға баса назар аудару. Мұның бір мысалы ретінде «2+2=4» деген пікір математикаға, ал «'2+2=4' дұрыс» деген пікір метаматематикаға жатады деп жіктеуге болады.
Metamathematics is the study of mathematics itself using mathematical methods. This study produces metatheories, which are mathematical theories about other mathematical theories. Emphasis on metamathematics (and perhaps the creation of the term itself) owes itself to David Hilbert's attempt to secure the foundations of mathematics in the early part of the 20th century. Metamathematics provides "a rigorous mathematical technique for investigating a great variety of foundation problems for mathematics and logic" (Kleene 1952, p. 59). An important feature of metamathematics is its emphasis on differentiating between reasoning from inside a system and from outside a system. An informal illustration of this is categorizing the proposition "2+2=4" as belonging to mathematics while categorizing the proposition "'2+2=4' is valid" as belonging to metamathematics.
Тарих
Математиканың өзі туралы метатеоремалар бастапқыда 19 ғасырда математиканың іргелі дағдарысы деп аталатын мәселеге назар аудару үшін, қалыпты математикалық теоремалардан ерекшеленді. Ричардтың парадоксы (Ричард 1905) ағылшын тіліндегі нақты сандардың кейбір "анықтамаларына" қатысты, математика мен метаматематиканы ажырата алмаған жағдайда оңай туындайтын қайшылықтардың мысалы болып табылады. Расселдің мәшһүр парадоксы (Өзін-өзі қамтымайтын барлық жиынтықтар жиынтығы өзін-өзі қамти ма?) туралы да осыған ұқсас айтуға болады. Метаматематика математикалық логикамен тығыз байланысты болғандықтан, екі саланың да 19 ғасырдың соңы мен 20 ғасырдың басындағы ерте тарихы көбінесе үндестік тапты. Соңғы кезде математикалық логика жиынтықтар теориясы, категориялар теориясы, рекурсия теориясы және таза модельдер теориясы сияқты жаңа таза математиканы зерттеуді қамтиды, бұл салалар метаматематикамен тікелей байланысты емес. Метаматематикаға қатысты маңызды зерттеулер Готтлоб Фреге еңбектерімен, әсіресе оның 1879 жылы жарық көрген «Бегрифсшифт» еңбегімен басталды. Дэвид Гилберт 20 ғасырдың басында «метаматематика» терминін тұрақты түрде қолдануды бастады (Гилберт бағдарламасын қараңыз). Оның түсінігінде, бұл қазіргі заманғы дәлелдеу теориясына ұқсас, онда әр түрлі аксиоматикаланған математикалық теоремаларды зерттеу үшін шекті әдістер қолданылады (Клине 1952, 55-бет). Бұл саладағы басқа да көрнекті тұлғалар: Бертран Рассел, Торальф Сколем, Эмиль Пост, Алонзо Черч, Алан Тьюринг, Стивен Клин, Виллард Куайн, Пол Бенасерраф, Хилари Патнэм, Грегори Чайтин, Альфред Тарски, Пол Коэн және Курт Гёдель. Бүгінде металлогика мен метаматематика көбінесе бір-бірімен тоғысады және екеуі де академиялық ортада математикалық логиканың құрамына енген.
Metamathematical metatheorems about mathematics itself were originally differentiated from ordinary mathematical theorems in the 19th century to focus on what was then called the foundational crisis of mathematics. Richard's paradox (Richard 1905) concerning certain 'definitions' of real numbers in the English language is an example of the sort of contradictions that can easily occur if one fails to distinguish between mathematics and metamathematics. Something similar can be said around the well known Russell's paradox (Does the set of all those sets that do not contain themselves contain itself?). Metamathematics was intimately connected to mathematical logic, so that the early histories of the two fields, during the late 19th and early 20th centuries, largely overlap. More recently, mathematical logic has often included the study of new pure mathematics, such as set theory, category theory, recursion theory and pure model theory, which is not directly related to metamathematics. Serious metamathematical reflection began with the work of Gottlob Frege, especially his Begriffsschrift, published in 1879. David Hilbert was the first to invoke the term "metamathematics" with regularity (see Hilbert's program), in the early 20th century. In his hands, it meant something akin to contemporary proof theory, in which finitary methods are used to study various axiomatized mathematical theorems (Kleene 1952, p. 55). Other prominent figures in the field include Bertrand Russell, Thoralf Skolem, Emil Post, Alonzo Church, Alan Turing, Stephen Kleene, Willard Quine, Paul Benacerraf, Hilary Putnam, Gregory Chaitin, Alfred Tarski, Paul Cohen and Kurt Gödel. Today, metalogic and metamathematics broadly overlap, and both have been substantially subsumed by mathematical logic in academia.
Гиперболалық геометрияның ашылуы
Гиперболалық геометрияның ашылуы метаматематика үшін маңызды философиялық салдарларға әкелді. Оған дейін тек бір ғана геометрия және математика болды; тағы бір геометрияның болуы ықтимал емес деп есептелді. Гаусс гиперболалық геометрияны ашқанда, "білімсіздердің наразылығын" қорқынышпен жасырып, оның еңбектерін жарияламады, себебі бұл оның princeps mathematicorum (латынша, "Математиктердің князі") атағына нұқсан келтіруі мүмкін еді. "Білімсіздердің наразылығы" келді де кетті, метаматематикаға түрткіс берді, математикалық дәлдік, аналитикалық философия және логика салаларында үлкен жетістіктерге жол ашты.
The discovery of hyperbolic geometry had important philosophical consequences for metamathematics. Before its discovery there was just one geometry and mathematics; the idea that another geometry existed was considered improbable. When Gauss discovered hyperbolic geometry, it is said that he did not publish anything about it out of fear of the "uproar of the Boeotians", which would ruin his status as princeps mathematicorum (Latin, "the Prince of Mathematicians"). The "uproar of the Boeotians" came and went, and gave an impetus to metamathematics and great improvements in mathematical rigour, analytical philosophy and logic.
Терминдік жазу
Begriffsschrift (неміс тілінде шамамен "түсініктер жазуы") – Готтлоб Фрегенің 1879 жылы жарық көрген логика туралы кітабы және осы кітапта баяндалған формалды жүйе. "Begriffsschrift" көбінесе "түсініктерді жазу" немесе "түсініктерді белгілеу" деп аударылады; кітаптың толық атауы оны "арифметика үлгісіндегі таза ойдың формула тілі" деп сипаттайды. Фреге логикаға формалды тәсілді дамытуға Лейбництің "calculus ratiocinator" идеясымен ұқсас ниеттермен келді (бірақ, Фреге өз кіріспесінде бұл мақсатқа жеткенін және оның басты мақсаты Лейбництің сияқты идеал тіл құру екенін нақты жоққа шығарады, Фреге мұны өте қиын және идеалистік, алайда мүмкін емес міндет деп санайды). Фреге келесі ширек ғасыр бойы математиканың негіздерін зерттеуде өз логикалық есептеуін қолданды.
Begriffsschrift (German for, roughly, "concept script") is a book on logic by Gottlob Frege, published in 1879, and the formal system set out in that book. Begriffsschrift is usually translated as concept writing or concept notation; the full title of the book identifies it as "a formula language, modeled on that of arithmetic, of pure thought." Frege's motivation for developing his formal approach to logic resembled Leibniz's motivation for his calculus ratiocinator (despite that, in his Foreword Frege clearly denies that he reached this aim, and also that his main aim would be constructing an ideal language like Leibniz's, what Frege declares to be quite hard and idealistic, however, not impossible task). Frege went on to employ his logical calculus in his research on the foundations of mathematics, carried out over the next quarter century.
Principia Mathematica (Математикалық принциптер)
Principia Mathematica немесе жиі қысқартылатын "PM", математикалық шындықтардың бәрін қағида бойынша дәлелдеуге болатын символдық логикадағы аксиомалар мен логикалық қорытындылар ережелерін сипаттауға жасалған әрекет болды. Осылайша, бұл амбициялық жоба математика және философия тарихында зор маңызға ие, себебі мұндай бастаманың іске асырылуы мүмкін деген сенімнің маңызды нәтижелерінің бірі болып табылады. Дегенмен, 1931 жылы Гёдельдің толық еместік туралы теоремасы PM-нің және, шындығында, кез келген басқа да әрекеттің ешқашан осы мақсатқа жете алмайтынын нақты дәлелдеді; яғни, математиканы қамтуға ұсынылған аксиомалар мен логикалық қорытындылар ережелерінің кез келген жиынтығы үшін математиканың кейбір шындықтары олардан шығарылмайтын болады. PM-нің негізгі шабыттары мен себептерінің бірі Готтлоб Фрегенің логика саласындағы бұрынғы жұмысы болды, ол Расселге парадоксалды жиындарды құруға мүмкіндік берді. PM бұл мәселені кез келген жиынды шектеусіз құруға рұқсат бермей, болдырмауға тырысты. Бұл жалпы жиын ұғымын әртүрлі "типтер" жиындарының иерархиясы ұғымымен алмастыру арқылы іске асырылды, нақты бір типтегі жиынға тек төменгі типтегі жиындарды ғана қамтуға рұқсат етілді. Алайда, қазіргі заманғы математика Рассел сияқты парадокстарды Сермело-Франкель жиын теориясы жүйесі сияқты, одан да қарапайым тәсілдермен болдырмайды.
Principia Mathematica, or "PM" as it is often abbreviated, was an attempt to describe a set of axioms and inference rules in symbolic logic from which all mathematical truths could in principle be proven. As such, this ambitious project is of great importance in the history of mathematics and philosophy, being one of the foremost products of the belief that such an undertaking may be achievable. However, in 1931, Gödel's incompleteness theorem proved definitively that PM, and in fact any other attempt, could never achieve this goal; that is, for any set of axioms and inference rules proposed to encapsulate mathematics, there would in fact be some truths of mathematics which could not be deduced from them. One of the main inspirations and motivations for PM was the earlier work of Gottlob Frege on logic, which Russell discovered allowed for the construction of paradoxical sets. PM sought to avoid this problem by ruling out the unrestricted creation of arbitrary sets. This was achieved by replacing the notion of a general set with notion of a hierarchy of sets of different 'types', a set of a certain type only allowed to contain sets of strictly lower types. Contemporary mathematics, however, avoids paradoxes such as Russell's in less unwieldy ways, such as the system of Zermelo–Fraenkel set theory.
Гёдельдің толық емес теоремасы
Гёдельдің толық емес теоремалары – математикалық логиканың екі теоремасы, олар арифметиканы жүзеге асыруға қабілетті ең тривиальды аксиоматикалық жүйелерден басқа, барлық аксиоматикалық жүйелердің ішкі шектеулерін анықтайды. 1931 жылы Курт Гёдель дәлелдеген бұл теоремалар математикалық логика және математика философиясы салаларында маңызды рөл атқарады. Екі нәтиже де кеңінен, бірақ барлығы үшін емес, Гильберттің математиканың барлық саласын қамтитын толық және дәйекті аксиомалар жиынын табуға бағытталған бағдарламасының мүмкін еместігін көрсетеді деп түсіндіріледі, бұл Гильберттің екінші мәселесіне жоқ жауапты білдіреді. Бірінші толық емес теорема, теоремалары "тиімді процедура" (мысалы, компьютерлік бағдарлама, бірақ ол кез келген алгоритм болуы мүмкін) арқылы тізімдеуге болатын аксиомалардың ешбір дәйекті жүйесі натурал сандардың арақатынастарын толыққанды дәлелдей алмайды деп мәлімдейді. Кез келген мұндай жүйеде әрқашан натурал сандар туралы шындыққа сай, бірақ жүйе ішінде дәлелденбейтін тұжырымдар болады. Екінші толық емес теорема, бірінші теореманың кеңейтілген түрі, мұндай жүйенің өзінің дәйектілігін көрсетуге қабілетсіз екенін дәлелдейді.
Gödel's incompleteness theorems are two theorems of mathematical logic that establish inherent limitations of all but the most trivial axiomatic systems capable of doing arithmetic. The theorems, proven by Kurt Gödel in 1931, are important both in mathematical logic and in the philosophy of mathematics. The two results are widely, but not universally, interpreted as showing that Hilbert's program to find a complete and consistent set of axioms for all mathematics is impossible, giving a negative answer to Hilbert's second problem. The first incompleteness theorem states that no consistent system of axioms whose theorems can be listed by an "effective procedure" (e. g., a computer program, but it could be any sort of algorithm) is capable of proving all truths about the relations of the natural numbers (arithmetic). For any such system, there will always be statements about the natural numbers that are true, but that are unprovable within the system. The second incompleteness theorem, an extension of the first, shows that such a system cannot demonstrate its own consistency.
Шешім беру мәселесінің шешілмеуі
Entscheidungsproblem (неміс тілінде "шешім проблемасы") – Дэвид Гилберт 1928 жылы қойған мәселе. Entscheidungsproblem бірінші реттік логиканың бір тұжырымын (мүмкін, бірінші реттік логиканың қалыпты аксиомаларынан өзге, шектеулі аксиомалармен) кіріс ретінде қабылдайтын және тұжырымның жалпылама жарамдылығына байланысты "Иә" немесе "Жоқ" деп жауап беретін алгоритмді сұрайды, яғни аксиомаларды қанағаттандыратын әрбір құрылымда жарамды болатындығын. Бірінші реттік логиканың толықтық теоремасы бойынша, тұжырым жалпылама жарамды егер және тек қана аксиомалардан логикалық түрде шығарылса, сондықтан Entscheidungsproblem-ді берілген тұжырымды логика ережелерін қолдана отырып, аксиомалардан дәлелдеуге бола ма, деген сұраққа жауап беретін алгоритмді табу ретінде қарастыруға болады. 1936 жылы Алонзо Черч және Алан Тьюринг тәуелсіз зерттемелер жариялады, онда "тиімді есептелетін" түсінігі Тьюринг машинасымен есептелетін функциялармен (немесе эквивалентті түрде, лямбда-есептеуде бейнеленетіндермен) сипатталатын болса, Entscheidungsproblem-нің жалпы шешімі болмайтынын көрсетті. Бұл гипотеза қазір Church-Turing тезисі деп аталады.
The Entscheidungsproblem (German for 'decision problem') is a challenge posed by David Hilbert in 1928. The Entscheidungsproblem asks for an algorithm that takes as input a statement of a first order logic (possibly with a finite number of axioms beyond the usual axioms of first order logic) and answers "Yes" or "No" according to whether the statement is universally valid, i. e., valid in every structure satisfying the axioms. By the completeness theorem of first order logic, a statement is universally valid if and only if it can be deduced from the axioms, so the Entscheidungsproblem can also be viewed as asking for an algorithm to decide whether a given statement is provable from the axioms using the rules of logic. In 1936, Alonzo Church and Alan Turing published independent papers showing that a general solution to the Entscheidungsproblem is impossible, assuming that the intuitive notation of "effectively calculable" is captured by the functions computable by a Turing machine (or equivalently, by those expressible in the lambda calculus). This assumption is now known as the Church–Turing thesis.