Кіріспе
Математикалық модель материалдың кернеу астындағы деформациясын сипаттау үшін.
Континуумдық механикада, шексіз деформация теориясы – қатты дененің деформациясын сипаттауға арналған математикалық тәсіл, онда материал бөлшектерінің орын ауыстыруы дененің кез келген маңызды өлшемдеріне қарағанда әлдеқайда кішкентай (іс жүзінде, шексіз кішкентай) деп есептеледі; сондықтан дененің геометриясы және материалдың құраушы қасиеттері (тығыздық және беріктік сияқты) кеңістіктің кез келген нүктесінде деформацияға байланысты өзгермейді деп қарастырылады. Осы болжаммен континуумдық механика теңдеулері едәуір жеңілдетіледі. Бұл тәсіл кішкентай деформация теориясы, кішкентай орын ауыстыру теориясы немесе кішкентай орын ауыстыру градиенті теориясы деп те аталуы мүмкін. Бұл шекті деформация теориясымен салыстырылады, онда кері болжам жасалады. Шексіз деформация теориясы көбінесе азаматтық және машина жасау салаларында бетон және болат сияқты салыстырмалы түрде қатты серпімді материалдардан жасалған құрылымдардың кернеулік анализін жүргізу үшін қолданылады, себебі мұндай құрылымдарды жобалаудағы мақсат – олардың қалыпты жүктемелер астындағы деформациясын азайту. Дегенмен, бұл жуықтау, жұқа иілгіш денелердің (мысалы, сымдар, пластиналар және қабықшалар) жағдайында сақтық талап етеді, себебі олар айтарлықтай бұрылуға бейім, бұл нәтижелердің сенімсіздігіне әкелуі мүмкін.
In continuum mechanics, the infinitesimal strain theory is a mathematical approach to the description of the deformation of a solid body in which the displacements of the material particles are assumed to be much smaller (indeed, infinitesimally smaller) than any relevant dimension of the body; so that its geometry and the constitutive properties of the material (such as density and stiffness) at each point of space can be assumed to be unchanged by the deformation. With this assumption, the equations of continuum mechanics are considerably simplified. This approach may also be called small deformation theory, small displacement theory, or small displacement gradient theory. It is contrasted with the finite strain theory where the opposite assumption is made. The infinitesimal strain theory is commonly adopted in civil and mechanical engineering for the stress analysis of structures built from relatively stiff elastic materials like concrete and steel, since a common goal in the design of such structures is to minimize their deformation under typical loads. However, this approximation demands caution in the case of thin flexible bodies, such as rods, plates, and shells which are susceptible to significant rotations, thus making the results unreliable.
Ұзындығы
Нақты инженерлік компоненттерде кернеу (және деформация) 3D тензорлар болып табылады, бірақ ұзын металл тікелей сызықтың сияқты призмалық құрылымдарда, құрылымның ұзындығы басқа екі өлшемнен әлдеқайда үлкен. Ұзындыққа байланысты деформациялар, яғни қалыпты деформация және иілу деформациялары, сондай-ақ (егер ұзындығы 3-ші бағыт болса), жақын жердегі материалмен шектеледі және көлденең қима деформацияларымен салыстырғанда кішкентай. Сондықтан жазық деформация жарамды жуықтама болып табылады. Жазық деформация тензоры былай жазылады:
мұнда екі сызық екінші реттік тензорды білдіреді. Бұл күй жазық деформация деп аталады. Сәйкес кернеу тензоры:
мұнда нөлдік емес мүше шектеуді сақтау үшін қажет. Бұл кернеу мүшесін талдаудан уақытша алып тастауға болады, тек жазықтықтағы мүшелерді қалдыру арқылы, тиімді түрде 3D проблеманы әлдеқайда қарапайым 2D проблемаға дейін азайтуға болады.
Антипланалық сорт
Антипланарлық деформация – бұл денеде, мысалы, бұрандалы дислокацияға жақын аймақта кездесетін деформацияның тағы бір ерекше жағдайы. Антипланарлық деформация тензоры былай беріледі: