Введение
Философская интерпретация аксиом вероятности
The word probability has been used in a variety of ways since it was first applied to the mathematical study of games of chance. Does probability measure the real, physical, tendency of something to occur, or is it a measure of how strongly one believes it will occur, or does it draw on both these elements? In answering such questions, mathematicians interpret the probability values of probability theory. There are two broad categories of probability interpretations which can be called "physical" and "evidential" probabilities. Physical probabilities, which are also called objective or frequency probabilities, are associated with random physical systems such as roulette wheels, rolling dice and radioactive atoms. In such systems, a given type of event (such as a yielding a six) tends to occur at a persistent rate, or "relative frequency", in a long run of trials. Physical probabilities either explain, or are invoked to explain, these stable frequencies. The two main kinds of theory of physical probability are frequentist accounts (such as those of Venn, Reichenbach and von Mises) and propensity accounts (such as those of Popper, Miller, Giere and Fetzer). Evidential probability, also called Bayesian probability, can be assigned to any statement whatsoever, even when no random process is involved, as a way to represent its subjective plausibility, or the degree to which the statement is supported by the available evidence. On most accounts, evidential probabilities are considered to be degrees of belief, defined in terms of dispositions to gamble at certain odds. The four main evidential interpretations are the classical (e. g. Laplace's) and Savage), the epistemic or inductive interpretation (Ramsey, Cox) and the logical interpretation (Keynes and Carnap). There are also evidential interpretations of probability covering groups, which are often labelled as 'intersubjective' (proposed by Gillies and Rowbottom). and was formalized and rendered axiomatic as a distinct branch of mathematics by Andrey Kolmogorov in the twentieth century. In axiomatic form, mathematical statements about probability theory carry the same sort of epistemological confidence within the philosophy of mathematics as are shared by other mathematical statements. The mathematical analysis originated in observations of the behaviour of game equipment such as playing cards and dice, which are designed specifically to introduce random and equalized elements; in mathematical terms, they are subjects of indifference. This is not the only way probabilistic statements are used in ordinary human language: when people say that "it will probably rain", they typically do not mean that the outcome of rain versus not rain is a random factor that the odds currently favor; instead, such statements are perhaps better understood as qualifying their expectation of rain with a degree of confidence. Likewise, when it is written that "the most probable explanation" of the name of Ludlow, Massachusetts "is that it was named after Roger Ludlow", what is meant here is not that Roger Ludlow is favored by a random factor, but rather that this is the most plausible explanation of the evidence, which admits other, less likely explanations. Thomas Bayes attempted to provide a logic that could handle varying degrees of confidence; as such, Bayesian probability is an attempt to recast the representation of probabilistic statements as an expression of the degree of confidence by which the beliefs they express are held. Though probability initially had somewhat mundane motivations, its modern influence and use is widespread ranging from evidence based medicine, through six sigma, all the way to the probabilistically checkable proof and the string theory landscape. {| class="wikitable" style="text align: center; "
|+ A summary of some interpretations of probability
This can be represented mathematically as follows:
If a random experiment can result in N mutually exclusive and equally likely outcomes and if NA of these outcomes result in the occurrence of the event A, the probability of A is defined by
There are two clear limitations to the classical definition. Firstly, it is applicable only to situations in which there is only a 'finite' number of possible outcomes. But some important random experiments, such as tossing a coin until it shows heads, give rise to an infinite set of outcomes. And secondly, it requires an a priori determination that all possible outcomes are equally likely without falling in a trap of circular reasoning by relying on the notion of probability. (In using the terminology "we may be equally undecided", Laplace assumed, by what has been called the "principle of insufficient reason", that all possible outcomes are equally likely if there is no known reason to assume otherwise, for which there is no obvious justification.)
Слово «вероятность» использовалось в различных значениях с тех пор, как оно впервые было применено к математическому изучению азартных игр. Измеряет ли вероятность реальную, физическую тенденцию чего-либо происходить, или это мера того, насколько сильно кто-то верит в его наступление, или же она опирается на оба этих элемента? Отвечая на такие вопросы, математики интерпретируют значения вероятности в теории вероятностей. Существуют две широкие категории интерпретаций вероятности, которые можно назвать «физическими» и «доказательными». Физические вероятности, также называемые объективными или частотными вероятностями, связаны со случайными физическими системами, такими как колеса рулетки, бросание костей и радиоактивные атомы. В таких системах данный тип события (например, выпадение шести) имеет тенденцию происходить с устойчивой частотой или «относительной частотой» в длинной серии испытаний. Физические вероятности либо объясняют, либо используются для объяснения этих стабильных частот. Два основных вида теории физической вероятности – это частотные подходы (такие как у Венна, Райхенбаха и фон Мизеса) и склонностные подходы (такие как у Поппера, Миллера, Гиера и Фетцера). Доказательная вероятность, также называемая байесовской вероятностью, может быть присвоена любому утверждению, даже если случайный процесс не вовлечен, как способ представления его субъективной правдоподобности или степени, в которой утверждение подтверждается имеющимися доказательствами. В большинстве случаев доказательная вероятность рассматривается как степень убеждения, определяемая с точки зрения склонности к азартным играм при определенных коэффициентах. Четыре основные доказательные интерпретации – классическая (например, Лапласа и Савиджа), эпистемическая или индуктивная интерпретация (Рэмси, Кокс) и логическая интерпретация (Кейнса и Карнапа). Существуют также доказательные интерпретации вероятности, охватывающие группы, которые часто обозначаются как «интерсубъективные» (предложенные Гиллисом и Роуботтомом). Она была формализована и представлена в аксиоматической форме как отдельная ветвь математики Андреем Колмогоровым в двадцатом веке. В аксиоматической форме математические утверждения о теории вероятности обладают тем же уровнем эпистемологической уверенности в философии математики, что и другие математические утверждения. Математический анализ возник из наблюдений за поведением игрового оборудования, такого как игральные карты и кости, которые специально разработаны для введения случайных и уравновешенных элементов; в математических терминах они являются предметами безразличия. Это не единственный способ использования вероятностных утверждений в обычном человеческом языке: когда люди говорят, что «вероятно, пойдет дождь», они обычно не подразумевают, что исход дождя или его отсутствия является случайным фактором, которому в настоящее время отдают предпочтение шансы; вместо этого такие утверждения, возможно, лучше понимать как квалификацию их ожидания дождя с определенной степенью уверенности. Аналогично, когда написано, что «наиболее вероятное объяснение» названия Ладлоу, штат Массачусетс, «заключается в том, что оно было названо в честь Роджера Ладлоу», здесь не подразумевается, что Роджер Ладлоу предпочитается случайным фактором, а скорее то, что это наиболее правдоподобное объяснение имеющихся доказательств, допускающее другие, менее вероятные объяснения. Томас Бейс попытался разработать логику, которая могла бы обрабатывать различные степени уверенности; таким образом, байесовская вероятность – это попытка переформулировать представление вероятностных утверждений как выражение степени уверенности, с которой удерживаются выражаемые ими убеждения. Хотя вероятность изначально имела довольно прозаичные мотивы, ее современное влияние и применение широко распространены, начиная от медицины, основанной на доказательствах, через «шесть сигм», вплоть до вероятностно проверяемых доказательств и ландшафта теории струн. Это можно представить математически следующим образом: если случайный эксперимент может привести к N взаимоисключающим и равновероятным исходам, и если NA из этих исходов приводят к наступлению события A, то вероятность A определяется как. Существует два явных ограничения классического определения. Во-первых, оно применимо только к ситуациям, в которых существует «конечное» число возможных исходов. Но некоторые важные случайные эксперименты, такие как подбрасывание монеты до выпадения орла, приводят к бесконечному множеству исходов. И во-вторых, оно требует априорного определения того, что все возможные исходы равновероятны, не попадая в ловушку круговой аргументации, полагаясь на понятие вероятности. (Используя терминологию «мы можем быть одинаково не уверены», Лаплас предположил, согласно так называемому «принципу недостаточного основания», что все возможные исходы равновероятны, если нет известных причин предполагать обратное, что не имеет очевидного обоснования).
The word probability has been used in a variety of ways since it was first applied to the mathematical study of games of chance. Does probability measure the real, physical, tendency of something to occur, or is it a measure of how strongly one believes it will occur, or does it draw on both these elements? In answering such questions, mathematicians interpret the probability values of probability theory. There are two broad categories of probability interpretations which can be called "physical" and "evidential" probabilities. Physical probabilities, which are also called objective or frequency probabilities, are associated with random physical systems such as roulette wheels, rolling dice and radioactive atoms. In such systems, a given type of event (such as a yielding a six) tends to occur at a persistent rate, or "relative frequency", in a long run of trials. Physical probabilities either explain, or are invoked to explain, these stable frequencies. The two main kinds of theory of physical probability are frequentist accounts (such as those of Venn, Reichenbach and von Mises) and propensity accounts (such as those of Popper, Miller, Giere and Fetzer). Evidential probability, also called Bayesian probability, can be assigned to any statement whatsoever, even when no random process is involved, as a way to represent its subjective plausibility, or the degree to which the statement is supported by the available evidence. On most accounts, evidential probabilities are considered to be degrees of belief, defined in terms of dispositions to gamble at certain odds. The four main evidential interpretations are the classical (e. g. Laplace's) and Savage), the epistemic or inductive interpretation (Ramsey, Cox) and the logical interpretation (Keynes and Carnap). There are also evidential interpretations of probability covering groups, which are often labelled as 'intersubjective' (proposed by Gillies and Rowbottom). and was formalized and rendered axiomatic as a distinct branch of mathematics by Andrey Kolmogorov in the twentieth century. In axiomatic form, mathematical statements about probability theory carry the same sort of epistemological confidence within the philosophy of mathematics as are shared by other mathematical statements. The mathematical analysis originated in observations of the behaviour of game equipment such as playing cards and dice, which are designed specifically to introduce random and equalized elements; in mathematical terms, they are subjects of indifference. This is not the only way probabilistic statements are used in ordinary human language: when people say that "it will probably rain", they typically do not mean that the outcome of rain versus not rain is a random factor that the odds currently favor; instead, such statements are perhaps better understood as qualifying their expectation of rain with a degree of confidence. Likewise, when it is written that "the most probable explanation" of the name of Ludlow, Massachusetts "is that it was named after Roger Ludlow", what is meant here is not that Roger Ludlow is favored by a random factor, but rather that this is the most plausible explanation of the evidence, which admits other, less likely explanations. Thomas Bayes attempted to provide a logic that could handle varying degrees of confidence; as such, Bayesian probability is an attempt to recast the representation of probabilistic statements as an expression of the degree of confidence by which the beliefs they express are held. Though probability initially had somewhat mundane motivations, its modern influence and use is widespread ranging from evidence based medicine, through six sigma, all the way to the probabilistically checkable proof and the string theory landscape. {| class="wikitable" style="text align: center; "
|+ A summary of some interpretations of probability
This can be represented mathematically as follows:
If a random experiment can result in N mutually exclusive and equally likely outcomes and if NA of these outcomes result in the occurrence of the event A, the probability of A is defined by
There are two clear limitations to the classical definition. Firstly, it is applicable only to situations in which there is only a 'finite' number of possible outcomes. But some important random experiments, such as tossing a coin until it shows heads, give rise to an infinite set of outcomes. And secondly, it requires an a priori determination that all possible outcomes are equally likely without falling in a trap of circular reasoning by relying on the notion of probability. (In using the terminology "we may be equally undecided", Laplace assumed, by what has been called the "principle of insufficient reason", that all possible outcomes are equally likely if there is no known reason to assume otherwise, for which there is no obvious justification.)
Субъективизм
Субъективисты, также известные как байесовцы или последователи эпистемической вероятности, придают понятию вероятности субъективный статус, рассматривая его как меру «степени уверенности» индивида, оценивающего неопределенность конкретной ситуации. Эпистемическая или субъективная вероятность иногда называется степенью доверия, в отличие от термина «шанс», используемого для обозначения вероятности склонности. Примеры эпистемической вероятности включают присвоение вероятности утверждению об истинности предложенного закона физики или определение вероятности совершения преступления подозреваемым на основании представленных доказательств. Использование байесовской вероятности порождает философские дискуссии о том, может ли она служить обоснованием убеждений. Байезианцы ссылаются на работы Рамси, однако имеющиеся данные ставят под сомнение возможность формирования у людей последовательных убеждений. Применение байесовской вероятности предполагает определение априорной вероятности. Она может быть получена путем оценки того, больше или меньше ли требуемая априорная вероятность по сравнению с референсной вероятностью, связанной с моделью урны или мысленным экспериментом. Проблема заключается в том, что для конкретной задачи может быть применимо несколько мысленных экспериментов, и выбор одного из них является вопросом суждения: разные люди могут назначать разные априорные вероятности, что известно как проблема референтного класса. «Проблема восхода солнца» служит иллюстрацией этого.
Склонность
Теоретики склонностей рассматривают вероятность как физическую склонность, предрасположенность или тенденцию данного типа физической ситуации приводить к исходу определенного рода или к долгосрочной относительной частоте такого исхода. Такой вид объективной вероятности иногда называют «случайностью». Склонности, или шансы, не являются относительными частотами, а предполагаемыми причинами наблюдаемых стабильных относительных частот. Склонности используются для объяснения того, почему повторение определенного типа эксперимента будет генерировать данные типы результатов с устойчивыми частотами, которые и известны как склонности или шансы. Частотники не могут использовать этот подход, поскольку относительные частоты существуют только для больших ансамблей или коллективов, но не для отдельных бросков монеты (см. «один случай возможен» в таблице выше). Позднее теория склонностей была предложена философом Карлом Поппером, который, однако, имел лишь поверхностное знакомство с трудами К. С. Пирса. Они не дают явного определения склонностям, а рассматривают склонность как определяемую той теоретической ролью, которую она играет в науке. Они утверждали, например, что физические величины, такие как электрический заряд, также не могут быть явно определены в терминах более базовых понятий, а только через их проявления (например, притяжение и отталкивание других электрических зарядов). Аналогичным образом, склонность – это то, что выполняет различные функции, которые физическая вероятность выполняет в науке. Каковы эти функции физической вероятности в науке? Каковы её свойства? Одним из центральных свойств случайности является то, что, будучи известной, она ограничивает рациональную веру, заставляя её принимать одно и то же числовое значение. Дэвид Льюис назвал это «принципом главного принципа», но он уступил популярность параметрическому подходу, который моделировал явления как физическую систему, подверженную ошибкам наблюдения, например, в небесной механике. Современный прогностический подход был разработан Бруно де Финетти, центральной идеей которого является взаимозаменяемость – представление о том, что будущие наблюдения должны вести себя аналогично прошлым. Эта точка зрения привлекла внимание англоязычного мира после перевода книги де Финетти в 1974 году и с тех пор была развита такими статистиками, как Сеймур Гейссер.
since been propounded by such statisticians as Seymour Geisser.
Аксиоматическая вероятность
Математика вероятности может быть разработана на полностью аксиоматической основе, не зависящей ни от какой интерпретации: подробное изложение представлено в статьях о теории вероятностей и аксиомах теории вероятностей.