Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Ықтималдық аксиомаларының философиялық интерпретациясы
Philosophical interpretation of the axioms of probability
Ықтималдық сөзі алғаш рет математикалық зерттеуге қолданылғаннан бері түрлі жолдармен қолданылып келді. Ықтималдық бір нәрсенің нақты, физикалық түрде болуға бейімділігін өлшей ме, әлде оған қаншалықты сенімді екендігімізді көрсетеді ме, немесе екеуінің де әсері бар ма? Мұндай сұрақтарға жауап беру үшін математиктер ықтималдық теориясының ықтималдық шамаларын интерпретациялайды. Ықтималдықты интерпретациялаудың екі негізгі санаты бар, оларды "физикалық" және "дәлелдік" ықтималдықтар деп атауға болады. Физикалық ықтималдықтар, сондай-ақ объективті немесе жиілік ықтималдықтары деп те аталады, рулетка доңғалағы, ойыншық текшелер және радиоактивті атомдар сияқты кездейсоқ физикалық жүйелермен байланысты. Мұндай жүйелерде оқиғаның белгілі бір түрі (мысалы, текшеде алты шығуы) ұзақ сынақтарда тұрақты жиілікте немесе "шамалас жиілікте" орын алады. Физикалық ықтималдықтар осы тұрақты жиілікті түсіндіреді немесе оны түсіндіру үшін қолданылады. Физикалық ықтималдық теориясының екі негізгі түрі – жиіліктерге негізделген теориялар (Венн, Райхенбах және фон Мизес сияқты) және бейімділіктерге негізделген теориялар (Поппер, Миллер, Гире және Фетцер сияқты). Дәлелдік ықтималдық, сондай-ақ Байес ықтималдығы деп аталады, кез келген мәлімдемеге, тіпті кездейсоқ процесс қатыспаса да, оның субъективті ықтималдығын немесе қолда бар дәлелдермен қаншалықты қолдалатынын көрсету үшін тағайындалуы мүмкін. Көптеген жағдайларда дәлелдік ықтималдықтар белгілі бір ставкалары бойынша құмар ойнауға дайындықтың деңгейі ретінде қарастырылады. Төрт негізгі дәлелдік интерпретация – классикалық (мысалы, Лапластың және Савиджтің), эпистемиялық немесе индуктивті интерпретация (Рэмси, Кокс) және логикалық интерпретация (Кейнс және Карнап). Сонымен қатар, топтарды қамтитын және көбінесе "интерсубъективті" деп аталатын (Гилис пен Роуботтом ұсынған) ықтималдықтың дәлелдік интерпретациялары да бар. Ал XX ғасырда Андрей Колмогоров бұл теорияны математиканың жеке саласы ретінде ресмилендіріп, аксиоматикалық түрде берді. Аксиоматикалық формада ықтималдық теориясы туралы математикалық мәлімдемелер математика философиясының ішінде басқа математикалық мәлімдемелермен ортақ эпистемологиялық сенімділікке ие. Математикалық талдау ойын карталары мен текшелер сияқты ойын құралдарының мінез-құлқын байқаудан бастау алды, олар әдейі кездейсоқ және теңдестірілген элементтерді енгізу үшін жасалған; математикалық тұрғыдан алғанда, олар бей-жайлық нысандары болып табылады. Бұл ықтималдық туралы мәлімдемелерді күнделікті тілде қолданудың жалғыз жолы емес: адамдар "бәлкім, жаңбыр жауады" дегенде, олар әдетте жаңбырдың жаууына қарсы жаңбырдың нәтижесі қазіргі уақытта ықтималдығы жоғары кездейсоқ фактор екенін білдірмейді; керісінше, мұндай мәлімдемелер жаңбырға деген күтілуді сенімділік деңгейімен білдіру ретінде жақсы түсініледі. Сол сияқты, Лудлоу, Массачусетс қаласының аты "Роджер Лудлоудың есімімен аталған" деген жазудағы "ең ықтимал түсіндірме" бұл Роджер Лудлоу кездейсоқ фактормен сүйікті емес, бұл дәлелдің ең дұрыс түсіндірмесі, ол басқа, аз ықтимал түсіндірмелерді де мойындайды. Томас Бейс сенімділіктің әртүрлі деңгейлерін шеше алатын логиканы құруға тырысты; сондықтан Байес ықтималдығы – бұл ықтималдық туралы мәлімдемелерді олардың білдіретін сенімдер деңгейінің көрінісі ретінде қайта қарастыруға жасалған әрекет. Ықтималдықтың бастапқыда қарапайым мотивациясы болғанымен, оның қазіргі заманғы әсері мен қолданылуы кеңінен таралған, дәлелге негізделген медицинадан бастап, алты сигма арқылы, ықтималдықпен тексерілетін дәлелге және сап теориясы ландшафтына дейін.
The word probability has been used in a variety of ways since it was first applied to the mathematical study of games of chance. Does probability measure the real, physical, tendency of something to occur, or is it a measure of how strongly one believes it will occur, or does it draw on both these elements? In answering such questions, mathematicians interpret the probability values of probability theory. There are two broad categories of probability interpretations which can be called "physical" and "evidential" probabilities. Physical probabilities, which are also called objective or frequency probabilities, are associated with random physical systems such as roulette wheels, rolling dice and radioactive atoms. In such systems, a given type of event (such as a yielding a six) tends to occur at a persistent rate, or "relative frequency", in a long run of trials. Physical probabilities either explain, or are invoked to explain, these stable frequencies. The two main kinds of theory of physical probability are frequentist accounts (such as those of Venn, Reichenbach and von Mises) and propensity accounts (such as those of Popper, Miller, Giere and Fetzer). Evidential probability, also called Bayesian probability, can be assigned to any statement whatsoever, even when no random process is involved, as a way to represent its subjective plausibility, or the degree to which the statement is supported by the available evidence. On most accounts, evidential probabilities are considered to be degrees of belief, defined in terms of dispositions to gamble at certain odds. The four main evidential interpretations are the classical (e. g. Laplace's) and Savage), the epistemic or inductive interpretation (Ramsey, Cox) and the logical interpretation (Keynes and Carnap). There are also evidential interpretations of probability covering groups, which are often labelled as 'intersubjective' (proposed by Gillies and Rowbottom). and was formalized and rendered axiomatic as a distinct branch of mathematics by Andrey Kolmogorov in the twentieth century. In axiomatic form, mathematical statements about probability theory carry the same sort of epistemological confidence within the philosophy of mathematics as are shared by other mathematical statements. The mathematical analysis originated in observations of the behaviour of game equipment such as playing cards and dice, which are designed specifically to introduce random and equalized elements; in mathematical terms, they are subjects of indifference. This is not the only way probabilistic statements are used in ordinary human language: when people say that "it will probably rain", they typically do not mean that the outcome of rain versus not rain is a random factor that the odds currently favor; instead, such statements are perhaps better understood as qualifying their expectation of rain with a degree of confidence. Likewise, when it is written that "the most probable explanation" of the name of Ludlow, Massachusetts "is that it was named after Roger Ludlow", what is meant here is not that Roger Ludlow is favored by a random factor, but rather that this is the most plausible explanation of the evidence, which admits other, less likely explanations. Thomas Bayes attempted to provide a logic that could handle varying degrees of confidence; as such, Bayesian probability is an attempt to recast the representation of probabilistic statements as an expression of the degree of confidence by which the beliefs they express are held. Though probability initially had somewhat mundane motivations, its modern influence and use is widespread ranging from evidence based medicine, through six sigma, all the way to the probabilistically checkable proof and the string theory landscape. {| class="wikitable" style="text align: center; "
|+ A summary of some interpretations of probability
Егер кездейсоқ эксперимент N өзара байланыссыз және тең мүмкіндіктерге әкелсе және осы мүмкіндіктердің NA-сы оқиға A-ның орын алуына әкелсе, A ықтималдығы былай анықталады:
This can be represented mathematically as follows:
If a random experiment can result in N mutually exclusive and equally likely outcomes and if NA of these outcomes result in the occurrence of the event A, the probability of A is defined by
Классикалық анықтаманың екі анық шектеуі бар. Біріншіден, ол тек "шектеулі" сандағы мүмкін нәтижелерге ғана қолданылады. Бірақ кейбір маңызды кездейсоқ эксперименттер, мысалы, монетаны үстіне шығатынша лақтырып көру, шексіз нәтижелер жиынтығын тудырады. Екіншіден, ол барлық мүмкін нәтижелердің тең мүмкіндікке ие екенін алдын ала анықтауды талап етеді, бұл ықтималдық туралы түсінікке сүйеніп, дөңгелек қимылдың тұзағына түспеуі керек. (Терминологияны қолдану кезінде "біз бірдей шешімсіз болуымыз мүмкін", Лаплас "жетіспейтін себептің қағидаты" деп аталатын нәрсе арқылы барлық мүмкін нәтижелер, егер басқаша болжам жасауға белгілі себеп болмаса, бірдей болуы мүмкін деп болжады, бұл үшін анық негіздеме жоқ.)
There are two clear limitations to the classical definition. Firstly, it is applicable only to situations in which there is only a 'finite' number of possible outcomes. But some important random experiments, such as tossing a coin until it shows heads, give rise to an infinite set of outcomes. And secondly, it requires an a priori determination that all possible outcomes are equally likely without falling in a trap of circular reasoning by relying on the notion of probability. (In using the terminology "we may be equally undecided", Laplace assumed, by what has been called the "principle of insufficient reason", that all possible outcomes are equally likely if there is no known reason to assume otherwise, for which there is no obvious justification.)
Субъективизм
Субъективистер, сондай-ақ, Бейестер немесе эпистемиялық ықтималдықты қолдаушылар деп те аталады, ықтималдық ұғымына субъективті мәртебе береді, оны белгілі бір жағдайдың белгісіздігін бағалайтын адамның "сенім дәрежесінің" өлшемі ретінде қарастырады. Эпистемиялық немесе субъективті ықтималдылық кейде сенім деп аталады, бұл мүмкіндіктер ықтималдығы үшін қолданылатын "мүмкіндік" терминіне қарама-қарсы. Эпистемиялық ықтималдықтың мысалдарына физика заңының дұрыс екендігіне ықтималдық тағайындау немесе ұсынылған дәлелдерге сүйене отырып, күдіктінің қылмыс жасауының қаншалықты ықтимал екенін анықтау жатады. Бейес ықтималдығын қолдану сенімді негіздеудің дұрыстығы туралы философиялық пікірталас тудырады. Бейестер Рамзидің еңбегіне сілтеме жасайды, ал дәлелдер адамдардың логикалық тұжырымдарға ие болуына күмән келтіреді. Бейес ықтималдығын қолдану алдын ала ықтималдықты белгілеуді қажет етеді. Бұл қажетті алдын ала ықтималдықтың ыдыс моделімен немесе ой экспериментімен байланысты эталондық ықтималдықтан жоғары немесе төмен екенін қарастыру арқылы анықталуы мүмкін. Мәселе мынада, берілген мәселе үшін бірнеше ой экспериментін қолдануға болады және біреуін таңдау – бұл субъективті шешім: әртүрлі адамдар әртүрлі алдын ала ықтималдықтарды тағайындауы мүмкін, бұл анықтамалық сынып мәселесі деп аталады. "Күн шығу мәселесі" осыған мысал болады.
Subjectivists, also known as Bayesians or followers of epistemic probability, give the notion of probability a subjective status by regarding it as a measure of the 'degree of belief' of the individual assessing the uncertainty of a particular situation. Epistemic or subjective probability is sometimes called credence, as opposed to the term chance for a propensity probability. Some examples of epistemic probability are to assign a probability to the proposition that a proposed law of physics is true or to determine how probable it is that a suspect committed a crime, based on the evidence presented. The use of Bayesian probability raises the philosophical debate as to whether it can contribute valid justifications of belief. Bayesians point to the work of Ramsey Evidence casts doubt that humans will have coherent beliefs. The use of Bayesian probability involves specifying a prior probability. This may be obtained from consideration of whether the required prior probability is greater or lesser than a reference probability associated with an urn model or a thought experiment. The issue is that for a given problem, multiple thought experiments could apply, and choosing one is a matter of judgement: different people may assign different prior probabilities, known as the reference class problem. The "sunrise problem" provides an example.
Ұлғаюшылық
Ымтылыс теориясының жақтастары ықтималдылықты белгілі бір физикалық жағдайдың белгілі бір нәтижеге немесе осындай нәтижелердің ұзақ мерзімді салыстырмалы жиілігіне әкелуге дайын физикалық бейімділік, ұмтылыс немесе тенденция деп қарастырады. Осы типтегі объективті ықтималдылық кейде «мүмкіндік» деп аталады. Ымтылыстар немесе мүмкіндіктер салыстырмалы жиіліктер емес, байқалатын тұрақты салыстырмалы жиіліктердің болжамдалатын себептері болып табылады. Ымтылыстар белгілі бір экспериментті қайталаудың неге берілген нәтиже түрлерін тұрақты деңгейде тудыратынын түсіндіру үшін қолданылады, олар ымтылыс немесе мүмкіндік деп аталады. Жиілікшілер бұл тәсілді қолдана алмайды, өйткені салыстырмалы жиіліктер монетаны бір рет лақтыру үшін емес, тек үлкен жиынтықтар немесе топтар үшін ғана бар (жоғарыдағы кестедегі «бір жағдайдың мүмкін екендігін» қараңыз). Кейінірек ымтылыс теориясын философ Карл Поппер ұсынды, бірақ ол С.С. Пирстің еңбектерімен тым жақсы таныс болған жоқ.) Олар ымтылыстарды нақты анықтамайды, керісінше ымтылысты ғылымдағы оның теориялық рөлімен анықтайды. Мысалы, электр заряды сияқты физикалық шамаларды да неғұрлым негізгі нәрселер тұрғысынан нақты анықтау мүмкін емес, тек олардың не істейтіні (мысалы, басқа электр зарядтарын тарту және итеру) тұрғысынан ғана анықтауға болады деп атап өтті. Сол сияқты, ымтылыс – физикалық ықтималдықтың ғылымда атқаратын әртүрлі рөлдерді орындайтын нәрсе. Физикалық ықтималдық ғылымда қандай рөлдер атқарады? Оның қасиеттері қандай? Мүмкіндіктің негізгі қасиеттерінің бірі – ол белгілі болғанда, рационалды сенімді бірдей сандық мәнге ие болуға мәжбүрлейді. Дэвид Льюис бұл принципті «Негізгі принцип» деп атады, бірақ ол параметрлік тәсілге қарағанда аз танымал болды, ол құбылыстарды қателікпен байқалатын физикалық жүйе ретінде модельдеді, мысалы, аспан механикасында. Қазіргі заманғы болжамдық тәсілді Бруно де Финетти алға бастады, оның негізгі идеясы – болашақ бақылаулар өткен бақылаулар сияқты болуы керек. Бұл көзқарас 1974 жылы де Финеттидің кітабының аудармасымен ағылшын тілінде сөйлейтін әлемге белгілі болды және содан бері Сеймур Гейссер сияқты статистиктер тарапынан қолдау тапты.
Propensity theorists think of probability as a physical propensity, or disposition, or tendency of a given type of physical situation to yield an outcome of a certain kind or to yield a long run relative frequency of such an outcome. This kind of objective probability is sometimes called 'chance'. Propensities, or chances, are not relative frequencies, but purported causes of the observed stable relative frequencies. Propensities are invoked to explain why repeating a certain kind of experiment will generate given outcome types at persistent rates, which are known as propensities or chances. Frequentists are unable to take this approach, since relative frequencies do not exist for single tosses of a coin, but only for large ensembles or collectives (see "single case possible" in the table above). A later propensity theory was proposed by philosopher Karl Popper, who had only slight acquaintance with the writings of C. S. Peirce, however.) do not explicitly define propensities at all, but rather see propensity as defined by the theoretical role it plays in science. They argued, for example, that physical magnitudes such as electrical charge cannot be explicitly defined either, in terms of more basic things, but only in terms of what they do (such as attracting and repelling other electrical charges). In a similar way, propensity is whatever fills the various roles that physical probability plays in science. What roles does physical probability play in science? What are its properties? One central property of chance is that, when known, it constrains rational belief to take the same numerical value. David Lewis called this the Principal Principle, but fell out of favor compared to the parametric approach, which modeled phenomena as a physical system that was observed with error, such as in celestial mechanics. The modern predictive approach was pioneered by Bruno de Finetti, with the central idea of exchangeability – that future observations should behave like past observations. This view came to the attention of the Anglophone world with the 1974 translation of de Finetti's book, and has
since been propounded by such statisticians as Seymour Geisser.
Аксиоматикалық ықтималдық
Ықтималдық математикасын кез келген түсіндіруден тәуелсіз, толық аксиоматикалық негізде құруға болады: толыққанды қарастыру үшін ықтималдық теориясы және ықтималдық аксиомалары туралы мақалаларға жүгініңіз.
The mathematics of probability can be developed on an entirely axiomatic basis that is independent of any interpretation: see the articles on probability theory and probability axioms for a detailed treatment.