Введение

В математике матричное представление конических сечений позволяет использовать инструменты линейной алгебры для их изучения. Оно предоставляет удобные способы вычисления оси конического сечения, вершин, касательных, а также соотношения между точками и прямыми плоскости, определяемой коническим сечением (полюс и поляр). Метод не требует приведения уравнения конического сечения к стандартному виду, что упрощает исследование конических сечений, оси которых не параллельны системе координат. Конические сечения (включая вырожденные) – это множества точек, координаты которых удовлетворяют полиномиальному уравнению второй степени от двух переменных. Это уравнение можно записать в матричной форме, используя симметричную матрицу для упрощения некоторых последующих формул, как

Сумма первых трех членов этого уравнения, а именно

является квадратичной формой, связанной с уравнением, а матрица

называется матрицей квадратичной формы. След и определитель инвариантны относительно вращения осей и переноса плоскости (сдвига начала координат). Квадратное уравнение также можно записать как

где – однородный координатный вектор в трех переменных, ограниченный условием, что последняя переменная равна 1, то есть

и где – матрица

Матрица называется матрицей квадратного уравнения. Как и у , её определитель инвариантен относительно вращения и переноса. Если , то коническое сечение вырождено. Если Q не вырождено, то тип конического сечения можно определить, вычислив минор:

Q является гиперболой тогда и только тогда, когда ,
Q является параболой тогда и только тогда, когда , и
Q является эллипсом тогда и только тогда, когда

В случае эллипса можно выделить частный случай окружности, сравнив два последних диагональных элемента, соответствующие коэффициентам x² и y²:

Если 1 = A = C и 1 = B = 0, то Q является окружностью. Более того, в случае невырожденного эллипса (с и ), мы имеем вещественный эллипс, если , но мнимый эллипс, если . Пример последнего – , который не имеет вещественных решений. Если коническое сечение вырождено, то позволяет определить его форму:

Две пересекающиеся прямые (гипербола, вырожденная до двух асимптот) тогда и только тогда, когда ,
Две параллельные прямые (вырожденная парабола) тогда и только тогда, когда .
Эти прямые различны и вещественны, если , совпадают, если , и не существуют в вещественной плоскости, если .
Одиночная точка (вырожденный эллипс) тогда и только тогда, когда .

Случай совпадающих прямых возникает тогда и только тогда, когда ранг матрицы 3 × 3 равен 1; во всех остальных вырожденных случаях её ранг равен 2.

Вершины

Вершины центральной коники можно определить, вычислив точки пересечения коники с ее осями, иными словами, решив систему, состоящую из квадратного уравнения коники и линейного уравнения, представляющего поочередно одну из осей. Для каждой оси получается две вершины или ни одной, поскольку в случае гиперболы малая ось не пересекает гиперболу в точке с действительными координатами. Однако, рассматривая более широкую картину в комплексной плоскости, малая ось гиперболы все же пересекает гиперболу, но в точках с комплексными координатами.