Кіріспе
Математикада конус қималарының матрицалық бейнелеуі сызықтық алгебраның құралдарын конус қималарын зерттеуде қолдануға мүмкіндік береді. Ол конустық қиманың осьін, төбелерін, жанамаларын және конустық қимамен анықталатын жазықтықтың нүктелері мен түзулері арасындағы полюс және полярлық қатынасты есептеудің оңай жолдарын ұсынады. Бұл әдіс конус қимасының теңдеуін стандартты түрге келтіруді қажет етпейді, осылайша осьтері координаттар жүйесіне параллель емес конус қималарын зерттеуді жеңілдетеді. Конус қималары (оның ішінде дегенеративті қималар) – координаттары екі айнымалыдағы екінші дәрежелі полиномдық теңдеуді қанағаттандыратын нүктелер жиынтығы. Бұл теңдеуді матрицалық жазуда, кейбір келесі формулаларды жеңілдету үшін симметриялық матрица түрінде жазуға болады, себебі осы теңдеудің алғашқы үш мүшесінің қосындысы теңдеумен байланысты квадраттық форма болып табылады, ал матрица квадраттық форманың матрицасы деп аталады. Із және анықтауыш екеуі де осьтердің айналуымен және жазықтықтың жылжуымен (түбірдің қозғалысымен) салыстырылғанда өзгермейді. Квадраттық теңдеуді сондай-ақ, соңғы айнымалысы 1-ге тең болған үш айнымалыдағы біртекті координаттық вектор түрінде жазуға болады, яғни, және матрица деп аталады. Оның анықтауышы, айналумен және жылжумен салыстырылғанда өзгермейді. AQ анықтауышына сүйене отырып: Егер , конус дегенеративті болады. Егер Q дегенеративті болмаса, онда оның қандай конус қимасы екенін анықтау үшін минорды есептеуге болады: Q – гипербола, егер және тек егер , Q – парабола, егер және тек егер , және Q – эллипс, егер және тек егер. Эллипс жағдайында, x^(2) және y^(2) коэффициенттеріне сәйкес келетін соңғы екі диагональдық элементтерді салыстыру арқылы шеңбердің ерекше жағдайын ажыратуға болады: Егер 1 = A = C және 1 = B = 0 болса, онда Q – шеңбер. Сонымен қатар, дегенерацияланбаған эллипс жағдайында ( және ) бізде нақты эллипс бар, бірақ егер болса, онда жорамал эллипс бар. Соңғысының мысалы , оның нақты мәнді шешімдері жоқ. Егер конус қимасы дегенеративті болса , оның түрін ажыратуға мүмкіндік береді: Екі қиылысатын түзу (гіперболаның екі асимптотасына дегенерацияланған) егер және тек егер. Екі параллель түзу (дегенеративті парабола) егер және тек егер. Бұл түзулер егер нақты және әртүрлі болса , сәйкес келсе және нақты жазықтықта болмаса. Бір нүкте (дегенеративті эллипс) егер және тек егер. Сәйкес келетін түзулер жағдайында ғана 3×3 матрицасының ранги 1-ге тең, ал барлық басқа дегенеративті жағдайларда оның ранги 2-ге тең.
By an abuse of notation, this conic section will also be called Q when no confusion can arise. This equation can be written in matrix notation, in terms of a symmetric matrix to simplify some subsequent formulae, as
The sum of the first three terms of this equation, namely
is the quadratic form associated with the equation, and the matrix
is called the matrix of the quadratic form. The trace and determinant of are both invariant with respect to rotation of axes and translation of the plane (movement of the origin). The quadratic equation can also be written as
where is the homogeneous coordinate vector in three variables restricted so that the last variable is 1, i. e.,
and where is the matrix
The matrix is called the matrix of the quadratic equation. Like that of , its determinant is invariant with respect to both rotation and translation. based on the determinant of AQ:
If , the conic is degenerate. If so that Q is not degenerate, we can see what type of conic section it is by computing the minor, :
Q is a hyperbola if and only if ,
Q is a parabola if and only if , and
Q is an ellipse if and only if
In the case of an ellipse, we can distinguish the special case of a circle by comparing the last two diagonal elements corresponding to the coefficients of x^(2) and y^(2):
If 1=A = C and 1=B = 0, then Q is a circle. Moreover, in the case of a non degenerate ellipse (with and ), we have a real ellipse if but an imaginary ellipse if An example of the latter is , which has no real valued solutions. If the conic section is degenerate , still allows us to distinguish its form:
Two intersecting lines (a hyperbola degenerated to its two asymptotes) if and only if Two parallel straight lines (a degenerate parabola) if and only if These lines are distinct and real if , coincident if , and non existent in the real plane if A single point (a degenerate ellipse) if and only if
The case of coincident lines occurs if and only if the rank of the 3 × 3 matrix is 1; in all other degenerate cases its rank is 2.
Бағаналар
Орталық конустың төбелері конус пен оның өстерінің қиылысуын есептеу арқылы, яғни конустың квадраттық теңдеуі мен әрбір өстің сызықтық теңдеуінен тұратын жүйені шешу арқылы анықталады. Гипербола жағдайында кіші ось гиперболамен нақты координаталары бар нүктеде қиыспағандықтан, әрбір өстің үшін екі немесе ешқандай төбе алынбайды. Дегенмен, кешенді жазықтықты кеңінен қарастырғанда, гиперболаның кіші өсі гиперболамен кешенді координаталары бар нүктелерде қиылысады.