Введение
Пространство всех возможных состояний, которые может принимать система.
В теории динамических систем и теории управления фазовое пространство или пространство состояний — это пространство, в котором представлены все возможные "состояния" динамической системы или системы управления, при этом каждое возможное состояние соответствует одной уникальной точке в фазовом пространстве. Для механических систем фазовое пространство обычно состоит из всех возможных значений переменных положения и импульса. Оно является прямым произведением обычного пространства и пространства Фурье. Концепция фазового пространства была разработана в конце XIX века Людвигом Больцманом, Анри Пуанкаре и Джозаей Виллардом Гиббсом.
Принципы
В фазовом пространстве каждая степень свободы или параметр системы представляется как ось многомерного пространства; одномерная система называется фазовой линией, а двухмерная – фазовой плоскостью. Каждому возможному состоянию системы или допустимой комбинации значений параметров системы соответствует точка в этом многомерном пространстве. Эволюционирующее состояние системы со временем описывает путь (траекторию фазового пространства системы) в пространстве высокой размерности. Траектория фазового пространства представляет собой множество состояний, совместимых с заданным начальным условием, в то время как полное фазовое пространство представляет собой множество состояний, совместимых с любым начальным условием. В целом, фазовая диаграмма отражает все возможные состояния системы, и её форма может наглядно продемонстрировать свойства системы, которые в противном случае могли бы остаться незамеченными. Фазовое пространство может иметь большое количество измерений. Например, газ, состоящий из множества молекул, может потребовать отдельного измерения для координат x, y и z и импульсов каждой частицы (6 измерений для идеального одноатомного газа), а для более сложных молекулярных систем потребуются дополнительные измерения для описания колебательных мод молекулярных связей, а также спина вокруг трех осей. Фазовые пространства особенно удобны при анализе поведения механических систем, движение которых ограничено вокруг и вдоль различных осей вращения или поступательного движения, например, в робототехнике, при анализе диапазона движений роботизированной руки или определении оптимального пути для достижения заданного положения и импульса.
Соединение момента
В классической механике любой выбор обобщенных координат qi для описания положения (то есть координат на конфигурационном пространстве) определяет сопряженные обобщенные импульсы pi, которые вместе задают координаты на фазовом пространстве. В более абстрактном виде, в классической механике фазовое пространство представляет собой котангенциальный расслоение конфигурационного пространства, и в этой интерпретации описанная выше процедура выражает, что выбор локальных координат на конфигурационном пространстве индуцирует выбор естественных локальных координат Дарбукса для стандартной симплектической структуры на котангенциальном пространстве.
Статистические ансамбли в фазовом пространстве
Движение ансамбля систем в этом пространстве изучается классической статистической механикой. Локальная плотность точек в таких системах подчиняется теореме Лиувиля и, следовательно, может считаться постоянной. В рамках модели системы в классической механике фазовые координаты системы в любой момент времени определяются всеми динамическими переменными системы. Благодаря этому возможно рассчитать состояние системы в любой момент времени в будущем или в прошлом, интегрируя уравнения движения Гамильтона или Лагранжа.
В небольших размерах
Для простых систем может быть всего одна или две степени свободы. Одна степень свободы возникает, когда рассматривается автономное обыкновенное дифференциальное уравнение в одной переменной, а полученная одномерная система называется фазовой линией, и качественное поведение системы сразу становится видно из фазовой линии. Самыми простыми нетривиальными примерами являются модель экспоненциального роста/убывания (одно неустойчивое/устойчивое равновесие) и модель логистического роста (два равновесия, одно устойчивое, одно неустойчивое). Фазовое пространство двухмерной системы называется фазовой плоскостью, которая встречается в классической механике при описании движения одной частицы в одном измерении, где две переменные – это положение и скорость. В этом случае эскиз фазового портрета может дать качественную информацию о динамике системы, например, предельный цикл осциллятора Ван дер Поля, показанный на диаграмме. Здесь горизонтальная ось соответствует положению, а вертикальная – скорости. По мере эволюции системы её состояние следует одной из линий (траекторий) на фазовой диаграмме.
Фазовый график
График переменных положения и импульса в зависимости от времени иногда называют фазовым портретом или фазовой диаграммой. Однако последнее выражение, "фазовая диаграмма", в физических науках чаще всего используется для диаграммы, отображающей различные области устойчивости термодинамических фаз химической системы, определяемой давлением, температурой и составом.
Фазовый интеграл
В классической статистической механике (с непрерывными энергиями) понятие фазового пространства предоставляет классический аналог функции разделения (суммирование по состояниям), известного как фазовый интеграл. Вместо суммирования множителя Больцмана по дискретным энергетическим уровням (определяемым соответствующими целыми квантовыми числами для каждой степени свободы), можно интегрировать по непрерывному фазовому пространству. Такое интегрирование по сути состоит из двух частей: интегрирования по компонентам импульса всех степеней свободы (пространство импульсов) и интегрирования по компонентам координат всех степеней свободы (пространство конфигураций). Как только фазовый интеграл известен, его можно связать с классической функцией разделения умножением на нормировочную константу, представляющую число квантовых энергетических состояний в единице фазового пространства. Эта нормировочная константа является просто обратной величиной постоянной Планка, возведенной в степень, равную числу степеней свободы системы.
Квантовая механика
В квантовой механике координаты p и q фазового пространства обычно становятся эрмитовыми операторами в гильбертовом пространстве. Однако они могут альтернативно сохранять свою классическую интерпретацию, при условии, что функции от них комбинируются новыми алгебраическими способами (через звездное произведение Грёненвольда, 1946 год). Это согласуется с принципом неопределенности квантовой механики. Каждому квантовомеханическому наблюдаемому соответствует уникальная функция или распределение в фазовом пространстве, и наоборот, как было установлено Германом Вейлем (1927) и дополнено Джоном фон Нейманом (1931); Юджином Вигнером (1932); и, в грандиозном синтезе, Г. Дж. Грёненвольдом (1946). Вместе с Дж. Э. Моялем (1949) они завершили создание основ фазово-пространственной формулировки квантовой механики – полной и логически автономной переформулировки квантовой механики. (Её современные абстракции включают деформационное и геометрическое квантование.) Ожидаемые значения в фазово-пространственном квантовании получаются изоморфно прослеживанию операторных наблюдаемых с матрицей плотности в гильбертовом пространстве: они вычисляются как фазово-пространственные интегралы от наблюдаемых, при этом квазираспределение вероятностей Вигнера эффективно выполняет роль меры. Таким образом, выражая квантовую механику в фазовом пространстве (той же области, что и для классической механики), преобразование Вейля позволяет рассматривать квантовую механику как деформацию (обобщение) классической механики с параметром деформации ħ/S, где S – действие соответствующего процесса. (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской механики в релятивистскую, с параметром деформации v/c; или деформацию ньютоновской гравитации в общую теорию относительности, с параметром деформации радиус Шварцшильда/характерный размер.) Классические выражения, наблюдаемые и операции (такие как скобки Пуассона) модифицируются квантовыми поправками, зависящими от ħ, поскольку обычное коммутативное умножение, применимое в классической механике, обобщается до некомутативного звездного умножения, характеризующего квантовую механику и лежащего в основе её принципа неопределенности.
Термодинамика и статистическая механика
В термодинамике и статистической механике термин "фазовое пространство" имеет два значения: во-первых, он используется в том же смысле, что и в классической механике. Если термодинамическая система состоит из N частиц, то точка в фазовом пространстве размерности 6N описывает динамическое состояние каждой частицы в этой системе, поскольку каждая частица связана с 3 переменными положения и 3 переменными импульса. В этом смысле, пока частицы различимы, точка в фазовом пространстве называется микросостоянием системы. (Для неразличимых частиц микросостояние состоит из множества N! точек, соответствующих всем возможным перестановкам N частиц.) N обычно порядка числа Авогадро, поэтому описание системы на микроскопическом уровне часто непрактично. Это приводит к использованию фазового пространства в другом смысле. Фазовое пространство также может относиться к пространству, параметризованному макроскопическими состояниями системы, таким как давление, температура и т.д. Например, диаграмму "давление-объем" или диаграмму "температура-энтропия" можно рассматривать как описывающую часть этого фазового пространства. Точка в этом фазовом пространстве соответственно называется макросостоянием. Может быть более одного микросостояния, соответствующего одному и тому же макросостоянию. Например, при фиксированной температуре система может иметь множество динамических конфигураций на микроскопическом уровне. При таком понимании фаза – это область фазового пространства, в которой находится рассматриваемая система, например, жидкая или твердая фаза и т.п. Поскольку микросостояний намного больше, чем макросостояний, фазовое пространство в первом смысле обычно является многообразием гораздо большей размерности, чем во втором смысле. Очевидно, для регистрации каждой детали системы вплоть до молекулярного или атомного масштаба требуется гораздо больше параметров, чем для простого указания, например, температуры или давления системы.
Оптическая
Фазовое пространство широко используется в неизображающей оптике, области оптики, посвященной освещению. Оно также является важным понятием в гамильтоновой оптике.
Медицина
В медицине и биоинженерии метод фазового пространства используется для визуализации многомерных физиологических ответов.