Введение

Демпфирование электрических полей

В физике, экранирование – это уменьшение электрических полей, вызванное присутствием подвижных носителей заряда. Это важная часть поведения жидкостей, переносящих заряд, таких как ионизированные газы (классическая плазма), электролиты и носители заряда в электронных проводниках (полупроводники, металлы). В жидкости с заданной диэлектрической проницаемостью ε, состоящей из электрически заряженных частиц, каждая пара частиц (с зарядами q1 и q2) взаимодействует посредством силы Кулона как

где вектор 'r' является относительным положением между зарядами. Это взаимодействие усложняет теоретическое описание жидкости. Например, наивный квантово-механический расчет плотности энергии основного состояния дает бесконечность, что не имеет смысла. Сложность заключается в том, что, хотя сила Кулона убывает с расстоянием как , среднее число частиц на каждом расстоянии r пропорционально , при условии, что жидкость достаточно изотропна. В результате, флуктуация заряда в любой точке оказывает существенное влияние на большие расстояния. В реальности, эти эффекты на больших расстояниях подавляются движением частиц в ответ на электрические поля. Этот поток уменьшает эффективное взаимодействие между частицами до взаимодействия Кулона короткого радиуса действия, "экранированного". Эта система представляет собой простейший пример ренормированного взаимодействия. В физике твердого тела, особенно для металлов и полупроводников, эффект экранирования описывает электростатическое поле и кулоновский потенциал иона внутри твердого тела. Подобно тому, как электрическое поле ядра уменьшается внутри атома или иона из-за экранирующего эффекта, электрические поля ионов в проводящих твердых телах дополнительно уменьшаются облаком электронов проводимости.

Описание

Рассмотрим жидкость, состоящую из электронов, движущихся на равномерном фоне положительного заряда (однокомпонентная плазма). Каждый электрон обладает отрицательным зарядом. Согласно кулоновскому взаимодействию, отрицательные заряды отталкиваются друг от друга. Следовательно, этот электрон будет отталкивать другие электроны, создавая вокруг себя небольшую область, в которой концентрация электронов ниже. Эта область может рассматриваться как положительно заряженная "дырка для экранирования". На большом расстоянии эта дырка проявляется как наложенный положительный заряд, компенсирующий электрическое поле, создаваемое электроном. Только на малых расстояниях, внутри области дырки, можно обнаружить поле электрона. Для плазмы этот эффект можно явно выразить с помощью многочастичного расчета. Если фон состоит из положительных ионов, их притяжение к рассматриваемому электрону усиливает описанный механизм экранирования. В атомной физике аналогичный эффект существует для атомов с более чем одной электронной оболочкой: эффект экранирования. В физике плазмы экранирование электрического поля также называют дебаевским экранированием. Оно проявляется в макроскопических масштабах в виде оболочки (дебаевской оболочки) вблизи материала, с которым плазма контактирует. Экранированный потенциал определяет межатомные силы и дисперсионное соотношение для фононов в металлах. Экранированный потенциал используется для расчета электронной зонной структуры широкого спектра материалов, часто в сочетании с псевдопотенциальными моделями. Эффект экранирования приводит к приближению независимых электронов, что объясняет предсказательную силу элементарных моделей твердых тел, таких как модель Друде, модель свободных электронов и модель почти свободных электронов.

Теория и модели

Первое теоретическое рассмотрение электростатического экранирования, выполненное Питером Дебаем и Эрихом Хюкелем, касалось стационарного точечного заряда, погруженного в жидкость. Рассмотрим жидкость из электронов на фоне тяжелых положительно заряженных ионов. Для упрощения мы пренебрегаем движением и пространственным распределением ионов, аппроксимируя их как однородный фоновый заряд. Это упрощение допустимо, поскольку электроны легче и мобильнее ионов, при условии рассмотрения расстояний, значительно превышающих расстояние между ионами. В физике конденсированного состояния эта модель называется "джеллиум".

Обследованные кулоновские взаимодействия

Пусть ρ обозначает числовую плотность электронов, а φ — электрический потенциал. Изначально электроны распределены равномерно, так что суммарный заряд в каждой точке равен нулю. Следовательно, φ также является постоянной величиной в начальный момент времени. Теперь введем в начало координат точечный заряд Q. Соответствующая плотность заряда равна Qδ(r), где δ(r) — дельта-функция Дирака. После того как система придет в равновесие, пусть изменение плотности электронов и электрического потенциала будет обозначено как Δρ(r) и Δφ(r) соответственно. Плотность заряда и электрический потенциал связаны уравнением Пуассона, которое имеет вид:

где ε0 — диэлектрическая проницаемость вакуума. Для дальнейшего анализа необходимо найти второе независимое уравнение, связывающее Δρ и Δφ. Рассмотрим два возможных приближения, при которых эти величины пропорциональны: приближение Дебая — Гюкеля, справедливое при высоких температурах (например, для классической плазмы), и приближение Томаса — Ферми, справедливое при низких температурах (например, для электронов в металлах).

Результат: проверенный потенциал

Наши результаты, полученные с использованием приближения Дебая–Гюкеля или Томаса–Ферми, теперь можно подставить в уравнение Пуассона. В результате получается уравнение, известное как уравнение Пуассона с экранированием. Его решение представляет собой экранированный потенциал Кулона. Это кулоновский потенциал, умноженный на экспоненциально затухающий член, где сила затухания определяется величиной k₀, волнового вектора Дебая или Томаса–Ферми. Следует отметить, что этот потенциал имеет ту же форму, что и потенциал Юкавы. Такое экранирование приводит к диэлектрической проницаемости.

Классическая физика и линейный ответ

Механический подход к рассмотрению тел позволяет одновременно получить выводы эффекта экранирования и затухания Ландау. Он рассматривает одну реализацию однокомпонентной плазмы, электроны которой обладают дисперсией скоростей (для тепловой плазмы должно быть много частиц в сфере Дебая, объеме, радиус которого равен длине Дебая). Используя уравнение движения электронов в их собственном электрическом поле в линеаризованном приближении, получаем уравнение вида:

где – линейный оператор, – источник, обусловленный частицами, а – преобразование Фурье-Лапласа электростатического потенциала. Заменяя дискретную сумму по частицам в интегралом по гладкой функции распределения, получаем:

где – диэлектрическая проницаемость плазмы, или диэлектрическая функция, классически полученная из линеаризованного уравнения Власова-Пуассона, – волновой вектор, – частота, а – сумма источниковых членов, обусловленных частицами. Обратное преобразование Фурье-Лапласа потенциала, создаваемого каждой частицей, представляет собой сумму двух частей: одна соответствует возбуждению волн Лангмюра частицей, а другая – ее экранированному потенциалу, как это классически получается в линеаризованном расчете на основе уравнения Власова с использованием пробной частицы. Экранированный потенциал соответствует вышеуказанному экранированному кулоновскому потенциалу для тепловой плазмы и тепловой частицы. Для более быстрой частицы потенциал модифицируется. Заменяя дискретную сумму по частицам в интегралом по гладкой функции распределения, получаем выражение Власова, позволяющее рассчитать затухание Ландау.

Квантово-механический подход

В реальных металлах эффект экранирования более сложен, чем описано выше в теории Томаса — Ферми. Предположение о том, что носители заряда (электроны) могут реагировать на любой волновой вектор, является лишь приближением. Однако, электрон внутри или на поверхности Ферми энергетически не может реагировать на волновые векторы, длина которых меньше фермиевского волнового вектора. Это ограничение связано с феноменом Гиббса, при котором ряды Фурье для функций, быстро изменяющихся в пространстве, не являются хорошим приближением, если не сохранено очень большое количество членов ряда. В физике это явление известно как осцилляции Фриделя и применимо как к поверхностному, так и к объемному экранированию. В каждом случае результирующее электрическое поле не убывает экспоненциально в пространстве, а скорее по степенному закону, умноженному на осциллирующий член. Теоретические расчеты могут быть получены с использованием квантовой гидродинамики и теории функционала плотности (DFT).