Введение

Термин статистики

В статистике полнота — это свойство статистики по отношению к параметризованной модели для набора наблюдаемых данных. Полная статистика T — это такая статистика, для которой любое предлагаемое распределение на области определения T предсказывается одним или несколькими априорными распределениями в пространстве параметров модели. Иными словами, пространство моделей «достаточно богато», чтобы каждое возможное распределение для T могло быть объяснено некоторым априорным распределением в пространстве параметров модели. В отличие от этого, достаточная статистика T — это такая статистика, для которой любые два априорных распределения приводят к различным распределениям для T. (Это последнее утверждение предполагает, что модельное пространство идентифицируемо, то есть не содержит «дублирующих» значений параметров. Это незначительное замечание.) Другими словами: предположим, что у нас есть идентифицируемое пространство моделей, параметризованное θ, и статистика T (которая по сути является функцией одной или нескольких независимых и одинаково распределенных случайных величин, полученных из модели). Тогда рассмотрим отображение, которое сопоставляет каждому распределению на параметре модели θ его индуцированное распределение на статистике T. Статистика T считается полной, когда это отображение сюръективно, и достаточной, когда оно инъективно.

Связь с достаточной статистикой

Для некоторых параметрических семейств полная достаточная статистика не существует (например, см. Galili и Meilijson, 2016). Например, если взять выборку размером n > 2 из распределения N(θ, θ²), то является минимальной достаточной статистикой и является функцией любой другой минимальной достаточной статистики, но имеет математическое ожидание, равное 0 для всех θ, следовательно, полная статистика невозможна. Если существует минимальная достаточная статистика, то любая полная достаточная статистика также является минимальной достаточной. Однако существуют патологические случаи, когда минимальная достаточная статистика не существует, даже если полная статистика существует.

Важность полноты

Понятие полноты имеет множество применений в статистике, в частности, в следующих двух теоремах математической статистики.

Теорема Басу

Ограниченная полнота возникает в теореме Басу, которая утверждает, что статистика, являющаяся одновременно ограниченно полной и достаточной, независима от любой дополнительной статистики.

Теорема Бахадура

Ограниченная полнота также встречается в теореме Бахадура. Если существует хотя бы одна минимально достаточная статистика, то любая статистика, являющаяся достаточной и ограниченно полной, обязательно будет минимально достаточной. Другая формулировка теоремы Бахадура утверждает, что любая достаточная и ограниченно полная статистика в конечномерном координатном пространстве также является минимально достаточной.