Введение
Прошедшая часть цикла периодической функции. В физике и математике фаза (символ φ или ϕ) волны или другой периодической функции некоторой вещественной переменной (например, времени) представляет собой величину, подобную углу, отражающую долю цикла, пройденную до данного момента. Она выражается в масштабе, при котором изменяется на один полный оборот, когда переменная проходит через каждый период (а сама функция – через каждый полный цикл). Фазу можно измерять в любых угловых единицах, таких как градусы или радианы, увеличиваясь при этом на 360° или 2π радиан, когда переменная завершает полный период. Эта конвенция особенно удобна для синусоидальной функции, поскольку её значение при любом аргументе можно выразить как sin(φ), синус фазы, умноженный на некоторый фактор (амплитуду синусоиды). (Вместо синуса можно использовать косинус, в зависимости от того, где считается началом каждого периода.) Обычно при выражении фазы целые обороты игнорируются, так что φ также является периодической функцией с тем же периодом, что и исходная функция, и последовательно сканирует один и тот же диапазон углов при каждом периоде исходной функции. Тогда говорят, что две точки с аргументами x и y находятся "в одинаковой фазе", если разница между ними составляет целое число периодов (то есть φ(x) = φ(y)). Численное значение фазы зависит от произвольного выбора начала каждого периода и от интервала углов, на который отображается каждый период. Термин "фаза" также используется при сравнении периодической функции f с её сдвинутой версией g. Если сдвиг между функциями выражается как доля периода, а затем масштабируется до угла, охватывающего полный оборот, то получается фазовый сдвиг, фазовое смещение или разность фаз между f и g. Если f является "канонической" функцией для класса сигналов, как sin(x) для всех синусоидальных сигналов, то фаза f называется начальной фазой.
In physics and mathematics, the phase (symbol φ or ϕ) of a wave or other periodic function of some real variable (such as time) is an angle like quantity representing the fraction of the cycle covered up to It is expressed in such a scale that it varies by one full turn as the variable goes through each period (and goes through each complete cycle). It may be measured in any angular unit such as degrees or radians, thus increasing by 360° or as the variable completes a full period. This convention is especially appropriate for a sinusoidal function, since its value at any argument then can be expressed as , the sine of the phase, multiplied by some factor (the amplitude of the sinusoid). (The cosine may be used instead of sine, depending on where one considers each period to start.) Usually, whole turns are ignored when expressing the phase; so that is also a periodic function, with the same period as , that repeatedly scans the same range of angles as goes through each period. Then, is said to be "at the same phase" at two argument values and (that is, ) if the difference between them is a whole number of periods. The numeric value of the phase depends on the arbitrary choice of the start of each period, and on the interval of angles that each period is to be mapped to. The term "phase" is also used when comparing a periodic function with a shifted version of it. If the shift in is expressed as a fraction of the period, and then scaled to an angle spanning a whole turn, one gets the phase shift, phase offset, or phase difference of relative to If is a "canonical" function for a class of signals, like is for all sinusoidal signals, then is called the initial phase of .
Математическое определение
Пусть – периодический сигнал (то есть функция одной вещественной переменной), и – его период (то есть наименьшее положительное вещественное число, такое что для всех ). Тогда фаза при любом аргументе равна
Здесь обозначает дробную часть вещественного числа, отбрасывающую его целую часть; то есть ; а – произвольное "начало" отсчета аргумента, которое считается началом цикла. Эту концепцию можно представить себе, вообразив часы со стрелкой, вращающейся с постоянной скоростью, совершающей полный оборот за секунд и указывающей прямо вверх в момент времени . Тогда фаза – это угол от положения "12:00" до текущего положения стрелки в момент времени , отсчитываемый по часовой стрелке. Понятие фазы наиболее полезно, когда начало отсчета выбирается на основе особенностей функции . Например, для синусоиды удобным выбором является любое , где значение функции меняется от нуля к положительному. Приведенная выше формула дает фазу как угол в радианах между 0 и . Чтобы получить фазу как угол между и , вместо этого используется
Фаза, выраженная в градусах (от 0° до 360°, или от −180° до +180°), определяется аналогичным образом, за исключением замены "2π" на "360°".
Сбор и сравнение фаз
Поскольку фазы являются углами, любые полные обороты обычно следует игнорировать при выполнении арифметических операций с ними. То есть, сумма и разность двух фаз (в градусах) должны вычисляться по следующим формулам:
соответственно. Таким образом, например, сумма фазовых углов 190° + 200° равна 30° (1 = 190 + 200 = 390, минус один полный оборот), а вычитание 50° из 30° дает фазу 340° (1 = 30 − 50 = −20, плюс один полный оборот). Аналогичные формулы справедливы и для радианов, где вместо 360 используется значение 2π.
Фазовый сдвиг
Различие между фазами двух периодических сигналов и называется разностью фаз или сдвигом фаз сигнала относительно . Когда разность фаз составляет четверть оборота (прямой угол, 1 = +90° = π/2 или 1 = −90° = 270° = −π/2 = 3π/2), синусоидальные сигналы иногда говорят, что находятся в квадратуре, например, фазовые и квадратурные компоненты составного сигнала или даже различные сигналы (например, напряжение и ток). Если частоты различны, разность фаз увеличивается линейно с аргументом. Периодические изменения от усиления до ослабления вызывают явление, называемое биением.
When the phase difference is a quarter of turn (a right angle, 1=+90° = π/2 or 1=−90° = 270° = −π/2 = 3π/2), sinusoidal signals are sometimes said to be in quadrature, e. g., in phase and quadrature components of a composite signal or even different signals (e. g., voltage and current). If the frequencies are different, the phase difference increases linearly with the argument The periodic changes from reinforcement and opposition cause a phenomenon called beating.
Для синусоидов с одинаковой частотой
Для синусоидальных сигналов (и некоторых других форм волн, таких как прямоугольные или симметричные треугольные), сдвиг фазы на 180° эквивалентен сдвигу фазы на 0° с изменением знака амплитуды. При сложении двух сигналов с такими формами волн, одинаковым периодом и сдвинутых по фазе на 180°, результирующая сумма либо тождественно равна нулю, либо представляет собой синусоидальный сигнал с тем же периодом и фазой, амплитуда которого равна разности исходных амплитуд. Фазовый сдвиг функции косинуса относительно функции синуса составляет +90°. Следовательно, для двух синусоидальных сигналов с одинаковой частотой и амплитудами и , где сигнал сдвинут по фазе на +90° относительно сигнала , их сумма является синусоидальным сигналом с той же частотой, амплитудой и фазовым сдвигом относительно сигнала , таким что
[[File:Phase Comparison image two waves. gif|thumb|Representation of phase comparison.
Сравнение фаз
Сравнение фаз — это сопоставление фаз двух сигналов, обычно имеющих одинаковую номинальную частоту. С точки зрения времени и частоты, цель сравнения фаз обычно заключается в определении разности частот (разницы между циклами сигнала) относительно опорного сигнала. Сравнение фаз можно выполнить, подключив два сигнала к двухканальному осциллографу. Осциллограф отобразит два синусоидальных сигнала, как показано на графике справа. На прилегающем изображении верхний синусоидальный сигнал представляет собой тестируемую частоту, а нижний — сигнал от опорного источника. Если бы обе частоты были абсолютно одинаковыми, их фазовое соотношение не изменялось бы, и оба сигнала казались бы неподвижными на экране осциллографа. Поскольку частоты не идентичны, опорный сигнал кажется неподвижным, а тестируемый сигнал перемещается. Измеряя скорость перемещения тестируемого сигнала, можно определить разность частот. Вертикальные линии проведены через точки, в которых каждый синусоидальный сигнал пересекает ноль. В нижней части рисунка показаны полосы, ширина которых соответствует разности фаз между сигналами. В данном случае разность фаз увеличивается, что указывает на то, что частота тестируемого сигнала ниже частоты опорного сигнала.