Введение

Распределение вероятности

В теории вероятностей и статистике, бета-распределение — это семейство непрерывных распределений вероятности, определенных на интервале [0, 1] или (0, 1) посредством двух положительных параметров, обозначаемых альфа (α) и бета (β), которые выступают в качестве степеней переменной и ее дополнения до 1 соответственно, и контролируют форму распределения. Бета-распределение применяется для моделирования поведения случайных величин, ограниченных интервалами конечной длины, в самых разных областях науки. Бета-распределение является подходящей моделью для случайного поведения процентов и долей. В байесовском выводе, бета-распределение является сопряженным априорным распределением вероятности для распределений Бернулли, биномиального, отрицательного биномиального и геометрического. Формулировка бета-распределения, рассматриваемая здесь, также известна как бета-распределение первого рода, в то время как бета-распределение второго рода является альтернативным названием бета-распределения сдвинутого типа (beta prime distribution). Обобщение на несколько переменных называется распределением Дирихле.

Средний размер и размер выборки

Бета-распределение также может быть перепараметризовано через его среднее μ (0 < μ < 1) и сумму двух параметров формы ν = α + β > 0 (стр. 83). Обозначая αPosterior и βPosterior параметры формы апостериорного бета-распределения, полученные в результате применения теоремы Байеса к биномиальной функции правдоподобия и априорной вероятности, интерпретация сложения обоих параметров формы как размера выборки ν = αPosterior + βPosterior верна только для априорной вероятности Холдейна Beta(0,0). В частности, для априорной вероятности Байеса (равномерной) Beta(1,1) правильной интерпретацией будет размер выборки = αPosterior + βPosterior − 2, или ν = (размер выборки) + 2. Для размеров выборки, значительно превышающих 2, разница между этими двумя априорными распределениями становится пренебрежимо малой. (Подробности см. в разделе «Байесовский вывод»). ν = α + β называют «размером выборки» бета-распределения, но следует помнить, что строго говоря, это «размер выборки» функции биномиального правдоподобия только при использовании априорной вероятности Холдейна Beta(0,0) в теореме Байеса. Эта параметризация может быть полезна при байесовской оценке параметров. Например, можно провести тест на группе людей. Если предположить, что оценка каждого человека (0 ≤ θ ≤ 1) извлечена из бета-распределения на уровне популяции, то важной статистикой является среднее значение этого распределения на уровне популяции. Среднее значение и параметры размера выборки связаны с параметрами формы α и β соотношением:

Для того чтобы мода , была хорошо определена, необходимо , или, эквивалентно, Если вместо этого определить концентрацию как , условие упрощается до , а плотность бета в точках и можно записать как:

где непосредственно масштабирует достаточную статистику, и обратите внимание также, что в пределе , распределение становится плоским.

Отношения средней, геометрической и гармонической средних величин

Из неравенства между арифметическим и геометрическим средними известно, что геометрическое среднее меньше арифметического. Аналогично, среднее гармоническое меньше геометрического. Сопровождающий график показывает, что при α = β как среднее, так и медиана точно равны 1/2, независимо от значения α = β, а мода также равна 1/2 при α = β > 1. Однако геометрическое и гармоническое средние меньше 1/2 и лишь асимптотически приближаются к этому значению при α = β → ∞.

Реализация обратного кумулятивного распределения

Если известна желаемая вероятность для заданного кумулятивного бета-распределения, то для определения значения x для этого заданного кумулятивного распределения, которое даст указанную кумулятивную вероятность, могут быть применены численные методы.

Интерполяция

Общее решение интегрирования для бета-распределения может быть использовано для численного вычисления таблицы кумулятивных распределений напрямую, а затем для замены зависимой и независимой переменных с целью определения обратного решения. Для предотвращения разрывов может потребоваться удаление повторяющихся значений 0 и/или 1 для независимого кумулятивного значения. Для вычисления зависимой переменной можно использовать линейную или кубическую интерполяцию.

Алгебраическая

Если оба числа *m* и *n* – положительные целые числа, обратное кумулятивное значение можно вычислить напрямую, разложив на множители полином, определяющий кумулятивное распределение. Например, если известна желаемая вероятность *p* для реализации кумулятивного распределения, описанной выше, значение *x* можно вычислить, разложив полином на множители и используя значение *x*, которое является вещественным и, если желаемая вероятность *p* равна 0,2, то выражение принимает вид:

Остальные решения для *x*, равные (1.3093931, 0.44160355), (1.3093931, 0.44160355) и 0.16443664, отбрасываются, поскольку они не удовлетворяют требованию, что *x* должно быть вещественным, положительным и меньше 1.

Найти точную медиану

Как упоминалось ранее, асимметричные распределения с различными α и β не имеют точной аналитической формулы для простого вычисления медианы и вместо этого опираются на приближенные выражения. Однако, если обратная кумулятивная функция распределения вычисляется для медианы с использованием метода Ньютона, примененного к решению, полученному с помощью непрерывного интегрирования, или алгебраического решения, если α и β – целые числа, то полученное значение медианы должно быть практически точным с произвольно выбранной точностью для всех случаев α и β, а не приближением.

Комбинация с другими дистрибутивами

X ~ Beta(α, β) и Y ~ F(2β, 2α), следовательно, для всех x > 0.

Обобщения

Обобщение на множество переменных, то есть многомерное бета-распределение, называется распределением Дирихле. Одномерные маргиналы распределения Дирихле имеют бета-распределение. Бета-распределение является сопряженным к биномиальному и распределениям Бернулли точно так же, как распределение Дирихле является сопряженным к многочленному и категориальному распределениям. Распределение Пирсона I типа идентично бета-распределению (за исключением произвольного сдвига и масштабирования, которые также могут быть достигнуты с помощью четырехпараметрической параметризации бета-распределения). Бета-распределение является частным случаем нецентрального бета-распределения, где: Обобщенное бета-распределение представляет собой семейство распределений с пятью параметрами, в котором бета-распределение является частным случаем. Матричное бета-распределение — это распределение для положительно определенных матриц.

Анализ вентелет

Вейвлет – это колебание, подобное волне, с амплитудой, начинающейся с нуля, возрастающей и затем уменьшающейся обратно до нуля. Обычно его можно представить как "кратковременное колебание", быстро затухающее. Вейвлеты могут использоваться для извлечения информации из различных типов данных, включая, но не ограничиваясь, аудиосигналы и изображения. Таким образом, вейвлеты намеренно создаются с определенными свойствами, делающими их полезными для обработки сигналов. Вейвлеты локализованы как во времени, так и по частоте, в то время как стандартное преобразование Фурье локализовано только по частоте. Следовательно, стандартные преобразования Фурье применимы только к стационарным процессам, а вейвлеты – к нестационарным процессам. Непрерывные вейвлеты могут быть построены на основе бета-распределения. Бета-вейвлеты можно рассматривать как разновидность вейвлетов Хаара с более мягкими характеристиками, форма которых точно настроена двумя параметрами формы α и β.

Генетика популяций

Модель Balding–Nichols — это двухпараметрическая параметризация бета-распределения, используемая в популяционной генетике. Она представляет собой статистическое описание частот аллелей в компонентах структурированной популяции:

где и ; здесь F — (Райтовское) генетическое расстояние между двумя популяциями.

История

Томас Бейс в посмертной работе, опубликованной в 1763 году Ричардом Прайсом, получил бета-распределение как функцию плотности вероятности успеха в испытаниях Бернулли (см.), но в этой работе не анализируются моменты бета-распределения и не обсуждаются его свойства. Первое систематическое современное изложение бета-распределения, вероятно, принадлежит Карлу Пирсону. В работах Пирсона бета-распределение подвергается дальнейшему анализу как распределение типа I Пирсона, включая полное обсуждение метода моментов для случая с четырьмя параметрами, а также диаграммы, изображающие (по описанию Элдертона) U-образные, J-образные, скрученные J-образные, формы, напоминающие "коккард", горизонтальные и наклонные прямые. Элдертон писал: "Я во многом обязан профессору Пирсону, но это долг, за который невозможно выразить формальную благодарность". В монографии Элдертона 1906 года (опубликованной через три года после его выхода на пенсию из Университетского колледжа Лондона, где его должность была разделена между Фишером и сыном Пирсона, Эгоном) Пирсон пишет: "Я ознакомился с работой Кошая в Журнале Королевского статистического общества (1933 год), которая, насколько мне известно, является единственным опубликованным примером применения метода профессора Фишера. К моему удивлению, этот метод предполагает предварительное вычисление констант кривой частот методом моментов (Пирсона), а затем наложение на нее, с помощью того, что Фишер называет "методом максимального правдоподобия", дополнительного приближения, чтобы, по его мнению, получить "более эффективные значения" констант кривой". В трактате Дэвида и Эдвардса по истории статистики приводится первое современное изложение бета-распределения в 1911 году, использующее обозначение "бета", которое стало стандартным благодаря Коррадо Джини, итальянскому статистику, демографу и социологу, разработавшему коэффициент Джини. Н. Л. Джонсон и С. Коц в своей всесторонней и информативной монографии о выдающихся исторических личностях в статистических науках характеризуют Коррадо Джини как "раннего байесиана, который занимался проблемой оценки параметров начального бета-распределения, выделив методы, предвосхитившие появление так называемого эмпирического байесовского подхода".