Кіріспе

Ықтималдық үлестірімі

Ықтималдық теориясы мен статистикада бета-бөлімі – [0, 1] немесе (0, 1) аралығындағы екі оң параметр – альфа (α) және бета (β) арқылы анықталатын үздіксіз ықтималдық үлестірімдерінің отбасы. Бұл параметрлер айнымалының және оның 1-ге толықтырғышының дәрежесі ретінде қолданылады және үлестірімнің пішінін анықтайды. Бета-бөлімі шекті ұзындығы бар аралықтардағы кездейсоқ айнымалылардың мінез-құлқын модельдеу үшін көптеген салаларда қолданылады. Бета-бөлімі пайыздар мен пропорциялардың кездейсоқ мінез-құлқына сәйкес келетін модель болып табылады. Бейестік қорытындылауда бета-бөлімі Бернулли, биномдық, теріс биномдық және геометриялық бөлімдердің конъюгациялық алдынғы ықтималдық үлестірімі болып табылады. Мұнда талқыланған бета-бөлімінің формуласы бірінші типтегі бета-бөлімі деп те аталады, ал екінші типтегі бета-бөлімі бета-прим бөлімінің балама атауы болып табылады. Көптеген айнымалыларға жасалған жалпылау Дирихле бөлімі деп аталады.

Орташа және іріктеме көлемі

Бета-бөлуді оның орташасы μ (0 < μ < 1) және екі пішін параметрінің қосындысы ν = α + β > 0 (83-бет) арқылы қайта параметрлеуге болады. Байес теоремасын биномиалдық ықтималдық функциясы мен алдынғы ықтималдыққа қолдану нәтижесінде алынған артқы бета-бөлудің пішін параметрлерін αPosterior және βPosterior деп белгілесек, екі пішін параметрін қосудың үлгі көлемі = ν = αPosterior + βPosterior деп түсіндіруі тек Холдайн алдынғы ықтималдығы Бета(0,0) үшін ғана дұрыс. Атап айтқанда, Бета(1,1) (біртекті) алдынғы ықтималдығы үшін дұрыс түсіндіру үлгі көлемі = αPosterior + βPosterior − 2, немесе ν = (үлгі көлемі) + 2 болады. Егер үлгі көлемі 2-ден әлдеқайда үлкен болса, осы екі алдынғы ықтималдық арасындағы айырмашылық мардымсыз болады. (Толық мәліметтер үшін «Байес тұжырымдамасы» бөлімін қараңыз.) ν = α + β Бета-бөлуінің «үлгі көлемі» деп аталады, бірақ Байес теоремасында Холдайн Бета(0,0) алдынғы ықтималдығын қолданған кезде ғана бұл биномдық ықтималдық функциясының нақты «үлгі көлемі» екенін есте ұстаған жөн. Бұл параметрлеу Байес параметрін бағалауда пайдалы болуы мүмкін. Мысалы, біреу бірнеше адамға тест тапсыруы мүмкін. Егер әрбір адамның ұпайы (0 ≤ θ ≤ 1) халық деңгейіндегі Бета-бөлуден алынған деп есептесек, онда осы халық деңгейіндегі бөлудің орташасы маңызды статистика болып табылады. Орташа және үлгі көлемі параметрлері пішін параметрлері α және β арқылы байланысты. Режимнің жақсы анықталғаны үшін , немесе эквивалентті түрде жағдай орындалуы керек. Егер концентрацияны деп анықтасақ, жағдай келесідей оңайлатылады: және бета тығыздығы келесі түрде жазылуы мүмкін: мұнда тікелей жеткілікті статистиканы масштабтайды, және ескеріңіз, шектегенде үлестіру тегіс болады.

Орташа, геометриялық орташа және гармоникалық орташа қатынасы

Арифметикалық және геометриялық орташалардың теңсіздігінен геометриялық орташаның орташадан төмен екені белгілі. Сол сияқты, гармониялық орташа да геометриялық орташадан төмен. Қоса берілген график α = β болғанда орташа және медиананың α = β мәніне қарамастан, дәл 1/2-ге тең екенін көрсетеді, ал режімі де α = β > 1 болғанда 1/2-ге тең. Дегенмен, геометриялық және гармониялық орташалар 1/2-ден төмен, және олар α = β → ∞ болғанда ғана осы мәнге асимптотикалық жақымдасады.

Кері жинақталған үлестіруді іске асыру

Егер белгілі бір жиынтық Бета-бөлуі үшін ізделінетін ықтималдық белгілі болса, онда сол анықталған жиынтық үлестірілімінде ізделінетін жиынтық мәнді алу үшін x-тің мәнін анықтау үшін сандық әдістер қолданылуы мүмкін.

Интерполяция

Бета-таралудың жалпы интеграциялық шешімін жинақталған таралу кестесін тікелей сандық есептеу үшін пайдалануға болады, содан кейін тәуелді және тәуелсіз айнымалыларды ауыстырып, кері шешімді табуға болады. Тәуелсіз жиынтық мән үшін 0 және/немесе 1 мәндерінің қайталануын болдырмау үшін алып тастау қажет болуы мүмкін. Тәуелді айнымалыны есептеу үшін сызықтық немесе кубикалық интерполяция қолданылуы мүмкін.

Алгебралық

Егер екеуі де оң бүтін сан болса, кері жиынтық мәнді жиынтық үлестіруді анықтайтын көпмүшені тікелей факторлау арқылы есептеуге болады. Мысалы, егер қалаған ықтималдығы , , жоғарыда келтірілген жиынтық үлестірудің 2-ші үлгісін іске асыру үшін белгілі болса, онда -ның мәні полиномды факторлау арқылы және нақты және болатын -ның мәнін пайдалану арқылы есептелуі мүмкін. Егер қалаған ықтималдығы 0.2 болса, онда өрнек мынадай болады.

-ның басқа шешімдері, =(1.3093931, 0.44160355), =(1.3093931, 0.44160355) және = 0.16443664 -ның нақты, оң және екендігіне қатысты талапты орындамағандықтан қарастырылмайды.

Дәл медианын табу

Жоғарыда айтылғандай, айырмашылығы бар қисайған үлестірулердің медианын оңай есептеу үшін нақты жабық түрдегі формуласы жоқ, оның орнына жуық шамалы формулалар қолданылады. Дегенмен, егер кері жиынтық үлестіруі үздіксіз интеграция шешімінде Ньютон әдісі арқылы немесе және бүтін сандар болған жағдайда алгебралық шешім арқылы есептелсе, нәтижеде алынған мән – барлық және жағдайлары үшін кез келген қадағалау дәлдігімен нақты мән болады деп күтіледі, жуықтау емес.

Басқа үлестірулермен біріктіру

X ~ Beta(α, β) және Y ~ F(2β, 2α) болғанда, барлық x > 0 үшін.

Жалпылау

Көп айнымалыларға жалпылау, яғни көп айнымалы Бета үлестірімі Дирихле үлестірімі деп аталады. Дирихле үлестірімінің бір өлшемді шеттік үлестірімдері Бета үлестіріміне ие. Бета үлестірімі бином және Бернулли үлестірімдеріне, Дирихле үлестірімі мультином және категориялық үлестірімдеріне дәл сол сияқты конъюгатты болып табылады. Пирсонның I типті үлестірімі Бета үлестірімімен сәйкес келеді (Бета үлестірімінің төрт параметрлі параметрленуі арқылы да қолданылатын кездейсоқ ығысу мен масштабтаудан басқа). Бета үлестірімі – орталық емес Бета үлестірімінің ерекше жағдайы, онда: Жалпыланған Бета үлестірімі – Бета үлестірімін ерекше жағдай ретінде қамтитын бес параметрлі үлестірімдер отбасы. Матрицалық Бета үлестірімі – оң анықталған матрицалар үшін үлестірім болып табылады.

Толқындық талдау

Толқындық – амплитудасы нөлден басталып, артып, содан кейін нөлге дейін төмендейтін, толқын тәрізді тербеліс. Оны көбінесе "қарқынды, бірақ жылдам өшетін тербеліс" деп бейнелеуге болады. Толқындықтар көптеген түрлі деректерден ақпаратты алу үшін қолданылады, оның ішінде – бірақ ғана шектелмейтін – аудио сигналдар мен кескіндер. Сондықтан, толқындықтар сигналды өңдеуде пайдалы болатын нақты қасиеттерге ие болу үшін жасалады. Толқындықтар уақыт және жиілік екеуінің ішінде локалдануға қабілетті, ал стандартты Фурье түрлендіруі тек жиілікте ғана локалданады. Осы себепті, стандартты Фурье түрлендірулері тек стационарлық процестерге ғана қолданылады, ал толқындықтар – стационарлық емес процестерге қолданылады. Бета таралымы негізінде үздіксіз толқындықтарды құруға болады. Бета толқындықтарын α және β екі пішін параметрімен нақты реттелген Haar толқындығының жұмсақ түрі деп қарастыруға болады.

Халықтық генетика

Balding–Nichols моделі – популяциялық генетикада қолданылатын бета-таралудың екі параметрлі параметризациясы. Бұл бөлінген популяцияның құрамдас бөліктеріндегі аллель жиіліктерінің статистикалық сипаттамасы:

мұнда F – екі популяция арасындағы (Райттың) генетикалық қашықтығы.

Тарих

Томас Бейс, 1763 жылы Ричард Прайс жариялаған өлімнен кейінгі еңбегінде, Бернулли сынақтарындағы сәттілік ықтималдығының тығыздығы ретінде бета-таралуды алды (қараңыз), бірақ бұл еңбек бета-таралудың ешқандай сәтін талдамайды және оның ешқандай қасиеттерін талқыламайды. Бета-таралуды алғашқы жүйелі, қазіргі заманғы тұрғыдан қарастыру, мүмкін, Карл Пирсонға тиесілі. Пирсонның мақалаларында бета-таралу Пирсонның I типті таралуы ретінде талданады, соның ішінде төрт параметрлік жағдай үшін сәттер әдісінің толық талқылануы және Эльдертон сипаттаған U пішіндес, J пішіндес, қисайған J пішіндес, «қалпақ» пішіндес, көлденең және бұрышты түзу сызық жағдайларының диаграммалары бар. Эльдертон былай деп жазды: «Мен негізінен профессор Пирсонға қарыздымын, бірақ бұл қарызды ресми түрде алғыс айту мүмкін емес». Эльдертон 1906 жылғы монографиясында (оның Лондон университетінің колледжінен зейнеткерлікке шыққаннан кейін үш жыл өткен соң жарияланған, онда оның орны Фишер мен Пирсонның ұлы Эгон арасында бөлінген) Пирсон былай деп жазады: «Мен (Кошайдың 1933 жылғы Корольдік Статистикалық Қоғам журналындағы мақаласын) оқыдым, мен білетінше, профессор Фишердің әдісін қолдану туралы қазірге дейін жарияланған жалғыз жағдай осы. Менің таңғалуым, бұл әдіс алдымен жиілік қисығының тұрақтыларын (Пирсонның) сәттер әдісімен есептеуге байланысты, содан кейін Фишер «максималды ықтималдық әдісі» деп атаған нәрсе арқылы оған қосымша жуықтау жасау, ол осылайша қисық тұрақтыларының «тиімдірек мәндерін» алады деп санайды». Дэвид пен Эдвардстың статистика тарихы бойынша трактатында 1911 жылы бета-таралудың алғашқы заманауи қарастырылуы келтіріледі, бұл бета-белгісі стандартқа айналған, өйткені итальяндық статистик, демограф және социолог Корадо Джини Гини коэффициентін жасаған. Н. Л. Джонсон мен С. Коц, статистикалық ғылымдардағы тарихи тұлғаларға арналған жан-жақты және өте ақпаратты монографияларында Коррадо Джиниді «алғашқы Бейс ретінде, алғашқы бета-таралудың параметрлерін анықтау мәселесімен айналысқан, сондай-ақ тәжірибелік Бейс әдісі деп аталатын әдістің пайда болуын болжаған әдістерді бөліп көрсеткен» деп атайды.