Введение

Группа, в которой порядок каждого элемента является степенью p.

В математике, в частности в теории групп, для простого числа p, p-группой называется группа, в которой порядок каждого элемента является степенью p. То есть, для каждого элемента g p-группы G существует неотрицательное целое число n, такое что произведение n копий g, и не меньше, равно единичному элементу. Порядки различных элементов могут быть разными степенями p.

Абелевы p-группы также называются p-первичными или просто первичными. Конечная группа является p-группой тогда и только тогда, когда её порядок (число её элементов) является степенью p. Для конечной группы G теоремы Силоу гарантируют существование подгруппы G порядка p^n для каждой степени p^n, делящей порядок G.

Каждая конечная p-группа нильпотентна. Остальная часть статьи посвящена конечным p-группам. Примером бесконечной абелевой p-группы является группа Пруфера, а примером бесконечной простой p-группы – группа монстров Тарского.

Свойства

Каждая p-группа является периодической, поскольку по определению каждый её элемент имеет конечный порядок. Если p – простое число, а G – группа порядка pk, то G имеет нормальную подгруппу порядка pm для каждого 1 ≤ m ≤ k. Это следует из индукции, с использованием теоремы Коши и теоремы о соответствии для групп. Схематическое доказательство следующее: поскольку центр Z группы G нетривиален (см. ниже), то согласно теореме Коши, Z содержит подгруппу H порядка p. Поскольку H центральна в G, она обязательно нормальна в G. Теперь мы можем применить индуктивное предположение к группе G/H, и результат вытекает из теоремы о соответствии.

Нетривиальный центр

Одним из первых стандартных результатов, использующих классовое уравнение, является то, что центр нетривиальной конечной p-группы не может быть тривиальной подгруппой. Это служит основой для многих индуктивных методов в p-группах. Например, нормализатор N правильной подгруппы H конечной p-группы G строго содержит H, поскольку для любого контрпримера, где H = N, центр Z содержится в N, а следовательно, и в H. Но тогда существует меньший пример H/Z, нормализатор которого в G/Z равен N/Z = H/Z, что приводит к бесконечному спуску. Как следствие, каждая конечная p-группа нильпотентна. В другом направлении, каждая нормальная подгруппа N конечной p-группы пересекает центр нетривиально, что можно доказать, рассматривая элементы N, которые остаются фиксированными при действии G на N посредством сопряжения. Поскольку каждая центральная подгруппа нормальна, следует, что каждая минимальная нормальная подгруппа конечной p-группы центральна и имеет порядок p. Действительно, основание (socle) конечной p-группы — это подгруппа центра, состоящая из центральных элементов порядка p. Если G является p-группой, то G/Z также является p-группой и, следовательно, имеет нетривиальный центр. Прообраз в G центра G/Z называется вторым центром, и эти группы начинают верхний центральный ряд. Обобщая предыдущие замечания об основании, конечная p-группа порядка pn содержит нормальные подгруппы порядка pi при 0 ≤ i ≤ n, и любая нормальная подгруппа порядка pi содержится в i-м центре Zi. Если нормальная подгруппа не содержится в Zi, то её пересечение с Zi+1 имеет размер не менее pi+1.

Автоморфизмы

Автоморфические группы p-групп хорошо изучены. Подобно тому, как каждая конечная p-группа имеет нетривиальный центр, так что внутренняя группа автоморфизмов является непривычным факторгруппой группы, каждая конечная p-группа имеет нетривиальную внешнюю группу автоморфизмов. Каждый автоморфизм G индуцирует автоморфизм на G/Φ(G), где Φ(G) – подгруппа Фраттини группы G. Факторгруппа G/Φ(G) является элементарной абелевой группой, а её группа автоморфизмов является общей линейной группой, и поэтому хорошо понятна. Отображение из группы автоморфизмов G в эту общую линейную группу было изучено Бернсайдом, который показал, что ядро этого отображения является p-группой.

Примеры

p-группы одного и того же порядка не обязательно изоморфны; например, циклическая группа C4 и группа Кляйна V4 — это обе группы порядка 4, но они не изоморфны. И p-группа не обязана быть абелевой; диэдральная группа Dih4 порядка 8 является неабелевой 2-группой. Однако, любая группа порядка p² является абелевой. Диэдрические группы одновременно очень похожи и очень отличаются от кватернионных и полудиэдральных групп. Вместе диэдрические, полудиэдральные и кватернионные группы образуют 2-группы максимального класса, то есть группы порядка 2ⁿ⁺¹ и класса нилпотентности n.

Продукты из итерации венков

Итерационные венковые произведения циклических групп порядка p являются очень важными примерами p-групп. Обозначим циклическую группу порядка p как W(1), а веночное произведение W(n) с W(1) – как W(n + 1). Тогда W(n) является p-подгруппой Силоу симметричной группы Sym(pn). Максимальные p-подгруппы общей линейной группы GL(n, Q) являются прямыми произведениями различных W(n). Порядок этой группы равен pk, где k = (pn − 1) / (p − 1). Она имеет класс нильпотентности pn−1, и её нижний центральный ряд, верхний центральный ряд, нижний центральный ряд с показателем p и верхний центральный ряд с показателем p равны. Она порождается своими элементами порядка p, но её показатель равен pn. Вторая такая группа, W(2), также является p-группой максимального класса, поскольку она имеет порядок pp+1 и класс нильпотентности p, но не является регулярной p-группой. Поскольку группы порядка pp всегда являются регулярными группами, это также минимальный такой пример.

Обобщенные диэдрические группы

Когда p = 2 и n = 2, W(n) является диэдрической группой порядка 8, поэтому в некотором смысле W(n) предоставляет аналогию диэдрической группы для всех простых чисел p при n = 2. Однако при больших значениях n эта аналогия становится менее точной. Существует другое семейство примеров, которое более точно имитирует диэдрические группы порядка 2n, но для этого требуется немного больше предварительной подготовки. Пусть ζ обозначает примитивный корень p-й степени из единицы в комплексных числах, Z[ζ] – кольцо циклотомических целых, порожденное этим корнем, а P – простой идеал, порожденный элементом 1 − ζ. Пусть G – циклическая группа порядка p, порожденная элементом z. Определим полупрямое произведение E(p) кольца Z[ζ] и группы G, где z действует как умножение на ζ. Степень Pn является нормальной подгруппой в E(p), а примеры групп задаются как E(p,n) = E(p) / Pn. E(p,n) имеет порядок pn+1 и класс нипотентности n, то есть является p-группой максимального класса. При p = 2, E(2,n) является диэдрической группой порядка 2n. При нечетном p, как W(2), так и E(p,p) являются нерегулярными группами максимального класса порядка pp+1, но не изоморфны.

Группы единичных треугольных матриц

Подгруппы Силоу общих линейных групп представляют собой еще одно фундаментальное семейство примеров. Пусть V — векторное пространство размерности n с базисом {e1, e2, ..., en} и определим Vi как векторное пространство, порожденное {ei, ei+1, ..., en} для 1 ≤ i ≤ n, а Vi = 0 при i > n. Для каждого 1 ≤ m ≤ n, множество обратимых линейных преобразований V, переводящих каждое Vi в Vi+m, образует подгруппу Aut(V), обозначаемую Um. Если V — векторное пространство над Z/pZ, то U1 является p-силовской подгруппой Aut(V) = GL(n, p), и члены ее нижнего центрального ряда — это просто Um. В матричной форме, Um — это верхнетреугольные матрицы с единицами на диагонали и нулями на первых m-1 сверхдиагоналях. Группа U1 имеет порядок p^(n(n-1)/2), класс нильпотентности n и показатель pk, где k — наименьшее целое число, не меньшее, чем логарифм n по основанию p.

Классификация

Группы порядка pn для 0 ≤ n ≤ 4 были классифицированы на ранних этапах развития теории групп, а современные исследования расширили эти классификации на группы, порядок которых делится на p7, хотя огромное количество семейств таких групп растет настолько быстро, что дальнейшие классификации подобного рода считаются слишком сложными для понимания человеческим разумом. Например, Маршалл Холл-младший и Джеймс К. Синиор классифицировали группы порядка 2n для n ≤ 6 в 1964 году. Вместо классификации групп по порядку, Филипп Холл предложил использовать понятие изоклинизма групп, которое объединяло конечные p-группы в семейства на основе больших факторгрупп и подгрупп. Совершенно иной подход классифицирует конечные p-группы по их коклассу, то есть разности между длиной композиционного ряда и классом нильпотентности. Так называемые гипотезы о коклассе описывают множество всех конечных p-групп фиксированного кокласса как возмущения конечного числа про-p-групп. Гипотезы о коклассе были доказаны в 1980-х годах с использованием методов, связанных с алгебрами Ли и мощными p-группами. Окончательные доказательства теорем о коклассе были получены А. Шалевым и независимо от него К. Р. Лидхэмом-Грином, оба в 1994 году. Они позволяют классифицировать конечные p-группы в ориентированных графах коклассов, состоящих лишь из конечного числа деревьев коклассов, чьи (бесконечно многие) элементы характеризуются конечным числом параметризованных представлений. Каждая группа порядка p5 является метабелевой.

До p3

Тривиальная группа является единственной группой порядка 1, а циклическая группа Cp — единственной группой порядка p. Существует ровно две группы порядка p², обе абелевы, а именно Cp² и Cp × Cp. Например, циклическая группа C₄ и группа Кляйна V₄, которая равна C₂ × C₂, являются группами порядка 4. Существует три абелевых группы порядка p³, а именно Cp³, Cp² × Cp и Cp × Cp × Cp. Также существуют две неабелевы группы. Для p ≠ 2, одна из них является полупрямым произведением Cp × Cp и Cp, а другая — полупрямым произведением Cp² и Cp. Первая может быть описана как группа UT(3, p) унитреугольных матриц над конечным полем из p элементов, также называемая группой Гейзенберга по модулю p. Для p = 2 оба вышеупомянутых полупрямых произведения изоморфны диэдрической группе Dih₄ порядка 8. Другая неабелева группа порядка 8 — это группа кватернионов Q₈.

Между группами

Количество классов изоморфизма групп порядка pn растёт как , и этими классами доминируют двухступенчатые нилпотентные классы. Из-за этого быстрого роста существует народная гипотеза, утверждающая, что почти все конечные группы являются 2-группами: предполагается, что доля классов изоморфизма 2-групп среди классов изоморфизма групп порядка не превосходящего n стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности. Например, из 49 910 529 484 различных групп порядка не более 2000, , или чуть более 99%, являются 2-группами порядка 1024.

Внутри группы

Каждая конечная группа, порядок которой делится на p, содержит подгруппу, являющуюся нетривиальной p-группой, а именно циклическую группу порядка p, порожденную элементом порядка p, полученным из теоремы Коши. Фактически, она содержит p-группу максимально возможного порядка: если p не делит m, то G имеет подгруппу P порядка p^k, где k - целое число, называемую p-подгруппой Силоу. Эта подгруппа не обязательно единственна, но любые подгруппы этого порядка сопряжены, и любая p-подгруппа G содержится в p-подгруппе Силоу. Эти и другие свойства доказываются в теоремах Силоу.

Применение к структуре группы

p-группы являются фундаментальными инструментами для понимания структуры групп и классификации конечных простых групп. p-группы возникают как подгруппы, так и как факторгруппы. В качестве подгрупп, для заданного простого числа p, существуют p-подгруппы Силоу P (наибольшая p-подгруппа не единственна, но все они сопряжены) и p-ядро (единственная наибольшая нормальная p-подгруппа), а также различные другие. В качестве факторгрупп, наибольшая факторгруппа по p-группе – это факторгруппа G по p-остаточной подгруппе. Эти группы связаны между собой (для различных простых чисел), обладают важными свойствами, такими как теорема о фокальных подгруппах, и позволяют определить многие аспекты структуры группы.

Местный контроль

Большая часть структуры конечной группы содержится в структуре её так называемых локальных подгрупп, нормализаторов неединичных p-подгрупп. Большие элементарные абелевы подгруппы конечной группы оказывают существенное влияние на структуру группы, что было использовано в доказательстве теоремы Фейта — Томпсона. Определенные центральные расширения элементарных абелевых групп, называемые экстраспециальными группами, помогают описать структуру групп, действующих на симплектических векторных пространствах. Ричард Брауэр классифицировал все группы, чьи силовские 2-подгруппы являются прямым произведением двух циклических групп порядка 4, а Джон Уолтер, Даниэль Горенштейн, Гельмут Бендер, Мичио Сузуки, Джордж Глауберман и другие классифицировали простые группы, чьи силовские 2-подгруппы были абелевыми, диэдральными, полудиэдральными или кватернионными.