Прецессия: Изменение направления оси вращения

Введение

Периодическое изменение направления оси вращения

Прецессия – это изменение ориентации оси вращения вращающегося тела. В подходящей системе отсчета она может быть определена как изменение первого угла Эйлера, в то время как третий угол Эйлера определяет само вращение. Иными словами, если ось вращения тела сама вращается вокруг второй оси, то говорят, что тело прецессирует относительно второй оси. Движение, при котором изменяется второй угол Эйлера, называется нутацией. В физике выделяют два типа прецессии: без момента силы и вызванная моментом силы. В астрономии прецессия относится к любому из нескольких медленных изменений вращательных или орбитальных параметров астрономического тела. Важным примером является постепенное изменение ориентации оси вращения Земли, известное как прецессия равноденствий.

Вызванные крутящим моментом

Прецессия, вызванная крутящим моментом (гироскопическая прецессия), – это явление, при котором ось вращающегося объекта (например, гироскопа) описывает конус в пространстве при воздействии на него внешнего крутящего момента. Это явление обычно наблюдается у вращающегося волчка, но прецессии подвержены все вращающиеся объекты. Если скорость вращения и величина внешнего крутящего момента постоянны, ось вращения будет двигаться под прямым углом к направлению, которое интуитивно можно было бы ожидать от внешнего крутящего момента. В случае волчка, его вес действует вниз от центра масс, а сила нормальной реакции (упругости) земли толкает его вверх в точке контакта с опорой. Эти две противоположные силы создают крутящий момент, который вызывает прецессию волчка. Устройство, изображенное справа, установлено на карданном подвесе. От внутренней стороны к внешней имеются три оси вращения: втулка колеса, ось карданного подвеса и вертикальная ось поворота. Чтобы различать две горизонтальные оси, вращение вокруг втулки колеса будем называть вращением (spin), а вращение вокруг оси карданного подвеса – тангажом (pitching). Вращение вокруг вертикальной оси поворота называется вращением (rotation). Сначала представим, что все устройство вращается вокруг (вертикальной) оси поворота. Затем добавляется вращение колеса (вокруг втулки колеса). Представим, что ось карданного подвеса зафиксирована, чтобы колесо не могло выполнять тангаж. На оси карданного подвеса установлены датчики, измеряющие наличие крутящего момента вокруг этой оси. На рисунке участок колеса обозначен как dm1. В данный момент времени участок dm1 находится на периферии вращательного движения вокруг (вертикальной) оси поворота. Следовательно, участок dm1 обладает большой угловой скоростью относительно вращения вокруг оси поворота, и поскольку участок dm1 принудительно приближается к оси вращения (по мере дальнейшего вращения колеса), из-за эффекта Кориолиса, относительно вертикальной оси поворота, участок dm1 стремится двигаться в направлении верхней левой стрелки на диаграмме (показана под углом 45°) в направлении вращения вокруг оси поворота. Участок dm2 колеса удаляется от оси поворота, и поэтому сила (опять же, сила Кориолиса) действует в том же направлении, что и в случае dm1. Обратите внимание, что обе стрелки указывают в одном направлении. Такое же рассуждение применимо и к нижней половине колеса, но там стрелки указывают в противоположном направлении от верхних стрелок. В совокупности по всему колесу возникает крутящий момент вокруг оси карданного подвеса при добавлении вращения к вращению вокруг вертикальной оси. Важно отметить, что крутящий момент вокруг оси карданного подвеса возникает без задержки; реакция мгновенная. В вышеизложенном рассмотрении конфигурация оставалась неизменной за счет предотвращения тангажа вокруг оси карданного подвеса. В случае вращающегося волчка, когда волчок начинает наклоняться, гравитация оказывает крутящий момент. Однако вместо опрокидывания волчок лишь немного выполняет тангаж. Это движение переориентирует волчок относительно действующего крутящего момента. В результате крутящий момент, создаваемый гравитацией – посредством движения тангажа – вызывает гироскопическую прецессию (которая, в свою очередь, создает встречный крутящий момент, противодействующий гравитационному крутящему моменту), а не приводит к падению волчка на бок. Прецессия или гироскопические соображения влияют на характеристики велосипеда на высокой скорости. Прецессия также является механизмом, лежащим в основе гирокомпасов.

Torque induced precession (gyroscopic precession) is the phenomenon in which the axis of a spinning object (e. g., a gyroscope) describes a cone in space when an external torque is applied to it. The phenomenon is commonly seen in a spinning toy top, but all rotating objects can undergo precession. If the speed of the rotation and the magnitude of the external torque are constant, the spin axis will move at right angles to the direction that would intuitively result from the external torque. In the case of a toy top, its weight is acting downwards from its center of mass and the normal force (reaction) of the ground is pushing up on it at the point of contact with the support. These two opposite forces produce a torque which causes the top to precess. The device depicted on the right is gimbal mounted. From inside to outside there are three axes of rotation: the hub of the wheel, the gimbal axis, and the vertical pivot. To distinguish between the two horizontal axes, rotation around the wheel hub will be called spinning, and rotation around the gimbal axis will be called pitching. Rotation around the vertical pivot axis is called rotation. First, imagine that the entire device is rotating around the (vertical) pivot axis. Then, spinning of the wheel (around the wheelhub) is added. Imagine the gimbal axis to be locked, so that the wheel cannot pitch. The gimbal axis has sensors, that measure whether there is a torque around the gimbal axis. In the picture, a section of the wheel has been named dm1. At the depicted moment in time, section dm1 is at the perimeter of the rotating motion around the (vertical) pivot axis. Section dm1, therefore, has a lot of angular rotating velocity with respect to the rotation around the pivot axis, and as dm1 is forced closer to the pivot axis of the rotation (by the wheel spinning further), because of the Coriolis effect, with respect to the vertical pivot axis, dm1 tends to move in the direction of the top left arrow in the diagram (shown at 45°) in the direction of rotation around the pivot axis. Section dm2 of the wheel is moving away from the pivot axis, and so a force (again, a Coriolis force) acts in the same direction as in the case of dm1. Note that both arrows point in the same direction. The same reasoning applies for the bottom half of the wheel, but there the arrows point in the opposite direction to that of the top arrows. Combined over the entire wheel, there is a torque around the gimbal axis when some spinning is added to rotation around a vertical axis. It is important to note that the torque around the gimbal axis arises without any delay; the response is instantaneous. In the discussion above, the setup was kept unchanging by preventing pitching around the gimbal axis. In the case of a spinning toy top, when the spinning top starts tilting, gravity exerts a torque. However, instead of rolling over, the spinning top just pitches a little. This pitching motion reorients the spinning top with respect to the torque that is being exerted. The result is that the torque exerted by gravity – via the pitching motion – elicits gyroscopic precession (which in turn yields a counter torque against the gravity torque) rather than causing the spinning top to fall to its side. Precession or gyroscopic considerations have an effect on bicycle performance at high speed. Precession is also the mechanism behind gyrocompasses.

Релятивистская (Эйнштейн)

Специальная и общая теории относительности вносят три типа поправок в ньютоновскую прецессию гироскопа вблизи массивного тела, такого как Земля, описанного выше. Это: прецессия Томаса – специальная релятивистская поправка, учитывающая ускорение объекта (например, гироскопа) при движении по криволинейной траектории; прецессия де Ситтера – общая релятивистская поправка, учитывающая метрику Шварцшильда искривлённого пространства вблизи массивного невращающегося тела; и прецессия Лензе — Тирринга – общая релятивистская поправка, учитывающая эффект увлечения пространства-времени, описываемый метрикой Керра вблизи массивного вращающегося тела.

Астрономия

В астрономии прецессия означает любые из нескольких медленных и непрерывных изменений в оси вращения или орбитальном пути небесного тела, вызванные гравитацией. Прецессия равноденствий, прецессия перигелия, изменения наклона оси Земли к плоскости её орбиты и изменение эксцентриситета её орбиты на протяжении десятков тысяч лет – все это важные компоненты астрономической теории ледниковых периодов. (См. циклы Миланковича.)

Прецессия оси (прецессия равноденствий)

Осевая прецессия — это движение оси вращения астрономического тела, при котором ось медленно описывает конус. В случае Земли этот тип прецессии также известен как прецессия равноденствий, лунно-солнечная прецессия или прецессия экватора. Земля проходит один такой полный прецессионный цикл примерно за 26 000 лет, или на 1° каждые 72 года, в течение которых положения звёзд медленно меняются как в экваториальных координатах, так и в эклиптической долготе. За этот цикл северный осевой полюс Земли перемещается от текущего положения, в пределах 1° от Полярной звезды, по окружности вокруг полюса эклиптики с угловым радиусом около 23,5°. Древнегреческий астроном Гиппарх (ок. 190–120 до н.э.) общепризнанно считается первым астрономом, который обнаружил и оценил прецессию равноденствий примерно в 1° в столетие (что близко к фактическому значению для античности, 1,38°), хотя существуют некоторые споры на этот счёт. В древнем Китае учёный чиновник династии Цзинь Юй Си (307–345 гг. н.э.) спустя столетия сделал аналогичное открытие, заметив, что положение Солнца во время зимнего солнцестояния сместилось примерно на один градус за пятьдесят лет относительно положения звёзд. Позднее прецессия оси Земли была объяснена с помощью ньютоновской физики. Земля, будучи сплюснутым сфероидом, имеет несферическую форму, выпуклость на экваторе. Гравитационные приливные силы Луны и Солнца создают крутящий момент, воздействующий на экватор, стремясь притянуть экваториальную выпуклость в плоскость эклиптики, но вместо этого вызывая прецессию. Крутящий момент, оказываемый планетами, особенно Юпитером, также играет важную роль.

Апсидальная прецессия

Орбиты планет вокруг Солнца не следуют одному и тому же эллипсу каждый раз, а фактически образуют фигуру, похожую на цветок с лепестками, поскольку большая ось эллиптической орбиты каждой планеты также прецессирует в своей орбитальной плоскости, частично в ответ на возмущения, вызванные изменяющимися гравитационными силами других планет. Это явление называется перигелийной или апсидной прецессией. На прилагаемом изображении проиллюстрирована апсидная прецессия Земли. По мере того как Земля вращается вокруг Солнца, её эллиптическая орбита постепенно поворачивается со временем. Эксцентриситет её эллипса и скорость прецессии орбиты преувеличены для наглядности. Большинство орбит в Солнечной системе имеют гораздо меньший эксцентриситет и прецессируют гораздо медленнее, что делает их почти круговыми и почти неподвижными. Расхождения между наблюдаемой скоростью перигелийной прецессии планеты Меркурий и скоростью, предсказанной классической механикой, были одними из ключевых экспериментальных доказательств, приведших к признанию теории относительности Эйнштейна (в частности, его общей теории относительности), которая точно предсказала эти аномалии. Отклоняясь от закона всемирного тяготения Ньютона, теория гравитации Эйнштейна предсказывает дополнительный член , который точно соответствует наблюдаемому избыточному углу поворота в 43 угловых секунды каждые 100 лет.