Введение
"Небольшое" подмножество топологического пространства. В математической области общей топологии, скудное множество (также называемое множеством первой категории) — это подмножество топологического пространства, которое мало или пренебрежимо в точном смысле, описанном ниже. Множество, которое не является скудным, называется несходным или множеством второй категории. Определения других связанных терминов приведены ниже. Скудные подмножества фиксированного пространства образуют σ-идеал подмножеств; то есть, любое подмножество скудного множества является скудным, а объединение счётного числа скудных множеств является скудным. Скудные множества играют важную роль в формулировании понятия пространства Баира и теоремы Баира о категории, которая используется в доказательстве нескольких фундаментальных результатов функционального анализа.
In the mathematical field of general topology, a meagre set (also called a meager set or a set of first category) is a subset of a topological space that is small or negligible in a precise sense detailed below. A set that is not meagre is called nonmeagre, or of the second category. See below for definitions of other related terms. The meagre subsets of a fixed space form a σ ideal of subsets; that is, any subset of a meagre set is meagre, and the union of countably many meagre sets is meagre. Meagre sets play an important role in the formulation of the notion of Baire space and of the Baire category theorem, which is used in the proof of several fundamental results of functional analysis.
Примеры
Пустое множество всегда является замкнутым нигде не плотным (и, следовательно, скудным) подмножеством каждого топологического пространства. В нескудном пространстве множество скудно. Множество нескудно и полноскудно. В нескудном пространстве множество нескудно. Но оно не полноскудно, так как его дополнение также нескудно. Счетное T1-пространство без изолированных точек скудно. Следовательно, оно также скудно в любом пространстве, содержащем его как подпространство. Например, является как скудным подпространством (то есть, скудным само по себе с топологией подпространства, индуцированной из ) так и скудным подмножеством . Множество Кантора нигде не плотно в и, следовательно, скудно в . Но оно нескудно само по себе, поскольку это полное метрическое пространство. Множество не является нигде плотным в , но оно скудно в . Оно нескудно само по себе (поскольку как подпространство содержит изолированную точку). Прямая скудна в плоскости , но это нескудное подпространство, то есть, оно нескудно само по себе. Множество является скудным подмножеством , даже если его скудное подмножество является нескудным подпространством (то есть, не является скудным топологическим пространством). Счетное хаусдорфово пространство без изолированных точек скудно, тогда как любое топологическое пространство, содержащее изолированную точку, нескудно. Поскольку рациональные числа счетны, они скудны как подмножество действительных чисел и как пространство — то есть, они не образуют пространство Бейра. Любое топологическое пространство, содержащее изолированную точку, нескудно (поскольку ни одно множество, содержащее изолированную точку, не может быть нигде плотным). В частности, каждое непустое дискретное пространство нескудно. Существует подмножество действительных чисел , которое разделяет каждое непустое открытое множество на два нескудных множества. То есть, для каждого непустого открытого множества , множества и оба нескудны. В пространстве непрерывных вещественнозначных функций на с топологией равномерной сходимости множество непрерывных вещественнозначных функций на , имеющих производную в некоторой точке, скудно. Поскольку это полное метрическое пространство, оно нескудно. Следовательно, дополнение , состоящее из непрерывных вещественнозначных функций, нигде не дифференцируемых на , полноскудно и нескудно. В частности, это множество не пусто. Это один из способов показать существование непрерывных функций, нигде не дифференцируемых.
The Cantor set is nowhere dense in and hence meagre in But it is nonmeagre in itself, since it is a complete metric space. The set is not nowhere dense in , but it is meagre in It is nonmeagre in itself (since as a subspace it contains an isolated point). The line is meagre in the plane But it is a nonmeagre subspace, that is, it is nonmeagre in itself. The set is a meagre subset of even though its meagre subset is a nonmeagre subspace (that is, is not a meagre topological space). A countable Hausdorff space without isolated points is meagre, whereas any topological space that contains an isolated point is nonmeagre. Because the rational numbers are countable, they are meagre as a subset of the reals and as a space—that is, they do not form a Baire space. Any topological space that contains an isolated point is nonmeagre (because no set containing the isolated point can be nowhere dense). In particular, every nonempty discrete space is nonmeagre. There is a subset of the real numbers that splits every nonempty open set into two nonmeagre sets. That is, for every nonempty open set , the sets and are both nonmeagre. In the space of continuous real valued functions on with the topology of uniform convergence, the set of continuous real valued functions on that have a derivative at some point is meagre. Since is a complete metric space, it is nonmeagre. So the complement of , which consists of the continuous real valued nowhere differentiable functions on is comeagre and nonmeagre. In particular that set is not empty. This is one way to show the existence of continuous nowhere differentiable functions.
Отношение к иерархии Бореля
Так же, как нигде плотное подмножество не обязано быть замкнутым, но всегда содержится в замкнутом нигде плотном подмножестве (а именно, в его замыкании), скудное множество не обязано быть множеством (счетным объединением замкнутых множеств), но всегда содержится в множестве, построенном из нигде плотных множеств (путем взятия замыкания каждого множества). Двойственно, так же как дополнение нигде плотного множества не обязано быть открытым, но имеет плотное внутреннее множество (содержит плотное открытое множество), комьягрейное множество не обязано быть множеством (счетным пересечением открытых множеств), но содержит плотное множество, образованное из плотных открытых множеств.
Двойственность Эрдоса и Серпинского
Многие аргументы, касающиеся скудных множеств, применимы и к множествам меры нуль, то есть множествам с мерой Лебега, равной нулю. Теорема двойственности Эрдоша — Серпинского утверждает, что если гипотеза континуума верна, существует инволюция отображающая действительные числа в действительные, при которой образ множества меры нуль является скудным множеством, и наоборот. Более точно, образ множества действительных чисел при таком отображении является множеством меры нуль тогда и только тогда, когда исходное множество было скудным, и наоборот.