Введение

Локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством. Пространства Фреше в функциональном анализе.

В функциональном анализе и смежных областях математики пространства Фреше, названные в честь Мориса Фреше, являются специальными топологическими векторными пространствами. Они являются обобщением пространств Банаха (нормированных векторных пространств, полных относительно метрики, индуцированной нормой). Все пространства Банаха и Гильберта являются пространствами Фреше. Пространства бесконечно дифференцируемых функций являются типичными примерами пространств Фреше, многие из которых обычно не являются пространствами Банаха. Пространство Фреше определяется как локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство (TVS), которое является полным как TVS, то есть любая последовательность Коши в нём сходится к некоторой точке в этом пространстве (см. сноску для получения более подробной информации). Важное замечание: не все авторы требуют, чтобы пространство Фреше было локально выпуклым (это обсуждается ниже). Топология каждого пространства Фреше индуцируется некоторой трансляционно-инвариантной полной метрикой. И наоборот, если топология локально выпуклого пространства индуцируется трансляционно-инвариантной полной метрикой, то это пространство Фреше. Фреше первым использовал термин «пространство Банаха», а Банах, в свою очередь, ввел термин «пространство Фреше» для обозначения полного метризуемого топологического векторного пространства без требования локальной выпуклости (такое пространство сегодня часто называют «пространством F»). Требование локальной выпуклости было добавлено позднее Николасом Бурбаки. Важно отметить, что значительное число авторов (например, Шефер) используют термин «пространство F» для обозначения (локально выпуклого) пространства Фреше, в то время как другие не требуют локальной выпуклости для «пространства Фреше». Более того, некоторые авторы даже используют термины «пространство F» и «пространство Фреше» как взаимозаменяемые. При чтении математической литературы рекомендуется всегда проверять, требует ли определение «пространства F» и «пространства Фреше», используемое в книге или статье, локальной выпуклости.

Определения

Пространства Фреше могут быть определены двумя эквивалентными способами: первый основан на трансляционно-инвариантной метрике, второй — на счетном семействе семинорм.

Сравнение с пространствами Банаха

В отличие от пространств Банаха, полная трансляционно-инвариантная метрика не обязательно порождается нормой. Однако, топология пространства Фреше порождается как полной паранормой, так и F-нормой (F обозначает Фреше). Несмотря на то, что топологическая структура пространств Фреше сложнее, чем у пространств Банаха из-за возможного отсутствия нормы, многие важные результаты функционального анализа, такие как теорема об открытом отображении, теорема о замкнутом графе и теорема Банаха — Штейнхауса, остаются в силе.

Из чисто функционального анализа

Каждое пространство Банаха является пространством Фреше, так как норма порождает трансляционно-инвариантную метрику, и пространство является полным относительно этой метрики. Пространство всех последовательностей вещественных чисел (также обозначаемое как ) становится пространством Фреше, если определить -ую полунорму последовательности как абсолютную величину -го элемента последовательности. Сходимость в этом пространстве Фреше эквивалентна поточечной сходимости.

Теорема Андерсона и Кадека

Обратите внимание, что гомеоморфизм, описанный в теореме Андерсона — Кадека, не обязательно линеен.

Обобщения

Если отбросить требование локальной выпуклости пространства, мы получаем F-пространства: векторные пространства с полными трансляционно-инвариантными метриками. LF-пространства являются счетными индуктивными пределами пространств Фреше.