Введение
Математическая функция
В математике гауссова функция, часто называемая просто гауссианом, – это функция базовой формы
и с параметрическим расширением
для произвольных действительных констант a, b и ненулевого c. Она названа в честь математика Карла Фридриха Гаусса. График гауссиана имеет характерную симметричную форму "колоколообразной кривой". Параметр a – это высота пика кривой, b – положение центра пика, а c (стандартное отклонение, иногда называемое гауссовой среднеквадратичной шириной) контролирует ширину "колокола". Гауссовы функции часто используются для представления функции плотности вероятности нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием μ = b и дисперсией. В этом случае гауссиан имеет вид
Гауссовы функции широко используются в статистике для описания нормальных распределений, в обработке сигналов для определения гауссовых фильтров, в обработке изображений, где двумерные гауссианы используются для гауссова размытия, а также в математике для решения уравнений теплопроводности и уравнений диффузии и для определения преобразования Вейерштрасса.
Оценка параметров
Ряд областей, таких как звездная фотометрия, характеризация гауссова луча и спектроскопия линий излучения/поглощения, работают с дискретизированными гауссовыми функциями и нуждаются в точной оценке параметров высоты, положения и ширины функции. Для одномерной гауссовой функции существует три неизвестных параметра (a, b, c), а для двумерной – пять.
Наиболее распространенный метод оценки гауссовых параметров – логарифмирование данных и аппроксимация полученного набора данных параболой. Хотя это обеспечивает простую процедуру подгонки кривой, результирующий алгоритм может быть смещен из-за чрезмерного взвешивания малых значений данных, что может привести к большим ошибкам в оценке профиля. Частично компенсировать эту проблему можно с помощью оценки методом наименьших квадратов с весами, уменьшая вес малых значений данных, однако это также может быть смещено, позволяя хвосту гауссиана доминировать при подгонке. Для устранения смещения можно использовать итеративно перевзвешенный метод наименьших квадратов, в котором веса обновляются на каждой итерации. Шум в измеренном профиле либо независимый и одинаково распределенный (i.i.d.) гауссовский, либо распределен по Пуассону. Расстояние между точками дискретизации (т.е. расстояние между пикселями, измеряющими данные) равномерно. Пик "хорошо дискретизирован", так что менее 10% площади или объема под пиком (площади для одномерного гауссиана, объема для двумерного) находится за пределами области измерения. Ширина пика значительно больше расстояния между точками дискретизации (т.е. размеры пикселей детектора должны быть по крайней мере в 5 раз меньше гауссовой полной ширины на полувысоте (FWHM)). При выполнении этих условий к параметрам одномерного профиля , , и при гауссовском i.i.d. шуме и при пуассоновском шуме применима следующая матрица ковариации K:
где обозначает модифицированные функции Бесселя целого порядка. Это дискретный аналог непрерывного гауссиана, поскольку он является решением дискретного уравнения диффузии (дискретное пространство, непрерывное время), как и непрерывный гауссиан является решением непрерывного уравнения диффузии.
Приложения
Гауссовские функции встречаются во многих областях естественных, социальных наук, математики и инженерии. Примеры включают:
В статистике и теории вероятностей гауссовы функции выступают в качестве функции плотности нормального распределения, которое, согласно центральной предельной теореме, является предельным распределением вероятностей для сложных сумм. Гауссовские функции являются функцией Грина для (однородного и изотропного) уравнения диффузии (и для уравнения теплопроводности, которое является тем же самым) – частного дифференциального уравнения, описывающего изменение плотности массы во времени под воздействием диффузии. В частности, если плотность массы в момент времени t=0 задана дельта-функцией Дирака, что означает, что масса изначально сосредоточена в одной точке, то распределение массы в момент времени t будет описываться гауссовой функцией, где параметр a линейно связан с величиной 1/σ, а параметр c – с величиной σ; эта изменяющаяся во времени гауссиана описывается тепловым ядром. В более общем случае, если начальная плотность массы равна φ(x), то плотность массы в последующие моменты времени получается путем свертки φ с гауссовой функцией. Свертка функции с гауссианом также известна как преобразование Вейерштрасса. Гауссовская функция является волновой функцией основного состояния квантового гармонического осциллятора. Молекулярные орбитали, используемые в вычислительной химии, могут быть линейными комбинациями гауссовых функций, называемых гауссовыми орбиталями (см. также базисный набор (химия)). Математически производные гауссовой функции могут быть представлены с использованием функций Эрмита. Для единичной дисперсии n-я производная гауссовой функции представляет собой саму гауссову функцию, умноженную на n-й полином Эрмита, с точностью до масштаба. Следовательно, гауссовы функции также связаны с вакуумным состоянием в квантовой теории поля. Гауссовы пучки используются в оптических системах, микроволновых системах и лазерах. В представлениях на основе масштаба гауссовы функции используются в качестве сглаживающих ядер для генерации многомасштабных представлений в компьютерном зрении и обработке изображений. В частности, производные гауссиан (функции Эрмита) используются в качестве основы для определения большого количества типов визуальных операций. Гауссовы функции используются для определения некоторых типов искусственных нейронных сетей. В флуоресцентной микроскопии двумерная гауссова функция используется для аппроксимации диска Эйри, описывающего распределение интенсивности, создаваемое точечным источником. В обработке сигналов они используются для определения гауссовых фильтров, например, в обработке изображений, где двумерные гауссианы используются для гауссова размытия. В цифровой обработке сигналов используется дискретное гауссово ядро, которое может быть аппроксимировано биномиальным коэффициентом или дискретизацией гауссиана. В геостатистике они использовались для понимания изменчивости между паттернами сложного обучающего изображения. Они используются с методами ядра для кластеризации паттернов в пространстве признаков.
In statistics and probability theory, Gaussian functions appear as the density function of the normal distribution, which is a limiting probability distribution of complicated sums, according to the central limit theorem. Gaussian functions are the Green's function for the (homogeneous and isotropic) diffusion equation (and to the heat equation, which is the same thing), a partial differential equation that describes the time evolution of a mass density under diffusion. Specifically, if the mass density at time t=0 is given by a Dirac delta, which essentially means that the mass is initially concentrated in a single point, then the mass distribution at time t will be given by a Gaussian function, with the parameter a being linearly related to 1/ and c being linearly related to ; this time varying Gaussian is described by the heat kernel. More generally, if the initial mass density is φ(x), then the mass density at later times is obtained by taking the convolution of φ with a Gaussian function. The convolution of a function with a Gaussian is also known as a Weierstrass transform. A Gaussian function is the wave function of the ground state of the quantum harmonic oscillator. The molecular orbitals used in computational chemistry can be linear combinations of Gaussian functions called Gaussian orbitals (see also basis set (chemistry)). Mathematically, the derivatives of the Gaussian function can be represented using Hermite functions. For unit variance, the n th derivative of the Gaussian is the Gaussian function itself multiplied by the n th Hermite polynomial, up to scale. Consequently, Gaussian functions are also associated with the vacuum state in quantum field theory. Gaussian beams are used in optical systems, microwave systems and lasers. In scale space representation, Gaussian functions are used as smoothing kernels for generating multi scale representations in computer vision and image processing. Specifically, derivatives of Gaussians (Hermite functions) are used as a basis for defining a large number of types of visual operations. Gaussian functions are used to define some types of artificial neural networks. In fluorescence microscopy a 2D Gaussian function is used to approximate the Airy disk, describing the intensity distribution produced by a point source. In signal processing they serve to define Gaussian filters, such as in image processing where 2D Gaussians are used for Gaussian blurs. In digital signal processing, one uses a discrete Gaussian kernel, which may be approximated by the Binomial coefficient or sampling a Gaussian. In geostatistics they have been used for understanding the variability between the patterns of a complex training image. They are used with kernel methods to cluster the patterns in the feature space.